Question

Задание 1. Вероятность того, что баскетболист попадет в кольцо при одной попытке равна 0.1. Баскетболист совершил 3 бросков. Составить закон распределения количества попаданий. Построить многоугольник распределения. Вычислить математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Answer 1

Случайная величина Х - количество попаданий в кольцо. Случайная величина распределена по биномиальному закону. Вероятность успеха в одном испытании p = 0.1, тогда q = 1 - p = 0.9

1) Вероятность того, что баскетболист не попадает в кольцо ниразу

$P(X=0)=q^3=0.9^3=0.729$

2) Вероятность того, что баскетболист попадет один раз

$P(X=1)=C^1_3pq^2=3\cdot 0.1\cdot 0.9^2=0.243$

3) Вероятность того, что баскетболист попадет два раза

$P(X=2)=C^2_3p^2q=3\cdot 0.1^2\cdot 0.9=0.027$

4) Вероятность того, что баскетболист попадет три раза

$P(X=3)=p^3=0.1^3=0.001$

Закон распределения случайной величины X:

Xi       0            1               2            3

Pi    0.729     0.243      0.027      0.001

Математическое ожидание случайной величины X:

$MX=\displaystyle \sum_ix_ip_i=0\cdot 0.729+1\cdot 0.243+2\cdot 0.027+3\cdot 0.001=0.3$

Иначе мат. ожидание можно подсчитать, если Х - распределена по биномиальному закону то $MX=np=3\cdot 0.1=0.3$

Дисперсия случайной величины X:

$DX=MX^2-(MX)^2=\displaystyle \sum_ix_i^2p_i-0.3^2=0^2\cdot 0.729+1^2\cdot 0.243+\\ \\ +2^2\cdot 0.027+3^2\cdot 0.001-0.09=0.27$

Иначе: $DX=npq=3\cdot 0.1\cdot 0.9=0.27$

Среднее квадратическое отклонение:

$\sigma (X)=\sqrt{DX}=\sqrt{0.27}=0.3\sqrt{3}\approx 0.52$

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся биномиальным распределением, так как баскетболист совершает несколько независимых попыток, каждая из которых имеет два возможных исхода (попадание или промах) с постоянной вероятностью успеха (0.1).

Закон распределения количества попаданий задается формулой биномиального распределения:

P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

где:

• P(X=k) - вероятность того, что количество попаданий равно k,
• n - общее количество попыток (в данном случае 3),
• k - количество попаданий,
• p - вероятность попадания в кольцо при одной попытке (0.1),
• C(n, k) - число сочетаний из n по k (количество способов выбрать k попаданий из n попыток).

Теперь вычислим вероятности для всех возможных значений k (от 0 до 3) и построим многоугольник распределения:

k = 0: P(X=0) = C(3, 0) * 0.1^0 * (1-0.1)^(3-0) = 1 * 1 * 0.9^3 = 0.729.

k = 1: P(X=1) = C(3, 1) * 0.1^1 * (1-0.1)^(3-1) = 3 * 0.1 * 0.9^2 = 0.243.

k = 2: P(X=2) = C(3, 2) * 0.1^2 * (1-0.1)^(3-2) = 3 * 0.01 * 0.9^1 = 0.027.

k = 3: P(X=3) = C(3, 3) * 0.1^3 * (1-0.1)^(3-3) = 1 * 0.001 * 0.9^0 = 0.001.

Таким образом, закон распределения количества попаданий имеет вид: P(X=0) = 0.729, P(X=1) = 0.243, P(X=2) = 0.027, P(X=3) = 0.001.

Многоугольник распределения будет выглядеть следующим образом:

markdownCopy code
     *
    ***
   *****
  *******
*********

Теперь вычислим математическое ожидание (среднее), дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Математическое ожидание E(X) для биномиального распределения вычисляется по формуле: E(X