Question

Докажите, что многочлен x^3 - 2x^2 - 2x + 3 Делится нацело на многочлен x^2 - x - 3

Answer 1

Решение смотри на фото

Answer 2

Для доказательства нужно показать, что существует многочлен q(x), такой что

x^3 - 2x^2 - 2x + 3 = (x^2 - x - 3)q(x)

Решим эту задачу с помощью метода неопределенных коэффициентов. Предположим, что q(x) имеет вид

q(x) = ax + b

где a и b - неопределенные коэффициенты. Тогда

(x^2 - x - 3)q(x) = (x^2 - x - 3)(ax + b) = ax^3 + (b - a)x^2 - (3a + b)x - 3b

Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получим систему уравнений:

a = 1 b - a = -2 -3a - b = -2 -3b = 3

Решая эту систему уравнений, находим a = 1, b = -1. Таким образом,

q(x) = x - 1

Подставляем это значение q(x) в изначальное равенство и получаем

x^3 - 2x^2 - 2x + 3 = (x^2 - x - 3)(x - 1)

Значит, многочлен x^3 - 2x^2 - 2x + 3 делится нацело на многочлен x^2 - x - 3.