Question

Найдите наибольшее значение функции y=log3(-7+8x-x^2) +8

Answer 1

Находим первую производную функции:
y' = (-2x+8)•ln(3)
Приравниваем ее к нулю:
(-2x+8)•ln(3) = 0
x1  = 4
Вычисляем значения функции 
f(4) = 8+9ln(3)
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = -2ln(3)
Вычисляем:
y''(4) = -2ln(3)<0 - значит точка x = 4 точка максимума функции.

Ответ: 4.

Answer 2

Функция y=log3(-7+8x-x^2) +8 может быть определена только тогда, когда аргумент логарифма -7+8x-x^2 больше нуля, так как логарифм от отрицательного числа не определен.

-7+8x-x^2 > 0

Перепишем это выражение, как квадратное неравенство:

x^2 - 8x + 7 < 0

Решим это квадратное неравенство, находим корни:

x = 1 или x = 7

Заметим, что если x < 1 или x > 7, то выражение под логарифмом отрицательно, а значит функция y не определена.

Осталось найти максимальное значение функции y на интервале [1, 7]. Можно сделать это, найдя максимум функции log3(-7+8x-x^2) и добавив к нему 8.

Чтобы найти максимум функции log3(-7+8x-x^2), найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

y' = (1/ln(3)) * (8 - 2x) / (8 - x - 7x^2)

Решим уравнение y' = 0:

8 - 2x = 0

x = 4

Проверим, что x = 4 является точкой максимума, а не точкой минимума, подставив ее во вторую производную:

y'' = (1/ln(3)) * (26x^2 - 48x - 64) / (8 - x - 7x^2)^2

y''(4) = -2/(ln(3)*(4/3)) < 0

Значит, x = 4 является точкой максимума.

Теперь найдем значение функции y при x = 4:

y(4) = log3(-7+8*4-4^2) + 8 = log3(1) + 8 = 8

Значит, наибольшее значение функции y равно 8 и достигается при x = 4.