Question

Докажите справедливость неравенства:x^2+y^2-6x+4y+13>=0

Answer 1

X^2+y^2-6x+4y+13>/=0
x^2-6x=(x-3)^2-9
y^2+4y=(y+2)^2-4
(x-3)^2-9+(y+2)^2-4+13>/=0
(x-3)^2+(y+2)^2>/=0
сумма квадратов всегда >/=0

Answer 2

Неравенство x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 ≥ 0 может быть решено с помощью завершения квадрата.

Выполним завершение квадрата для выражения, содержащего x:

x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9.

Аналогично, для выражения, содержащего y:

y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4.

Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство:

(x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + 13 ≥ 0

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 ≥ 0

Поскольку квадраты любых действительных чисел неотрицательны, то сумма двух квадратов также неотрицательна. Таким образом, мы доказали, что исходное неравенство справедливо для любых действительных чисел x и y.