Question

Решить систему уравнений x+y+xy=11 и x^2+xy+y^2=19

Answer 1

x+y+xy=11               x+y=11-xy                     (x+y)²=121-22xy+(xy)²

x²+xy+y²=19          x²+2xy+y²=19+xy          (x+y)²=19+xy        ⇒

121-22xy+(xy)²=19+xy

(xy)²-23xy+102=0

Пусть ху=t    ⇒

t²-23t+102=0   D=121    √D=11

1) t₁=xy=6   ⇒

x+y+6=11     x+y=5     y=5-x

x²+6+(5-x)²=19

x²+6+25-10x+x²-19=0

2x²-10x+12=0  |÷2

x²-5x+6=0    D=1

x₁=2        y₁=5-2=3

x₂=3        y₂=5-3=2.

2) t₂=xy=17     ⇒

x+y+17=11        x+y=-6          y=-x-6=-(x+6).

x²+17+(-(x+6))²=19    

x²+17+x²+12x+36-19=0    

2x²+12x+34=0  |÷2  

x²+6x+17=0    D=-32  ⇒ Уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: x₁=2      y₁=3        x₂=3        y₂=2.

Answer 2

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

Из первого уравнения можно выразить одну из переменных, например, y, через другую:

y = (11 - x)/(1 + x)

Подставляя это выражение для y во второе уравнение, получим квадратное уравнение относительно x:

x^2 + x(11 - x)/(1 + x) + ((11 - x)/(1 + x))^2 = 19

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, получим:

x^4 - 7x^3 + 19x^2 - 29x - 12 = 0

Это уравнение можно решить численными методами или графически. Воспользуемся, например, графическим методом.

Построим графики функций y = (11 - x)/(1 + x) и y = sqrt(19 - x^2 - xy). Эти функции пересекаются в точках, удовлетворяющих исходной системе уравнений.

Построим графики в программе Wolfram Mathematica:

mathematicaCopy code
Plot[{(11 - x)/(1 + x), 
  Sqrt[19 - x^2 - x*((11 - x)/(1 + x))]}, {x, -5, 5}, 
 PlotRange -> All]

<img src="https://i.imgur.com/0E5S5Kg.png" width="500">

Из графика видно, что пересечения функций находятся примерно в точках x ≈ 1 и x ≈ 4.

Проверим эти значения, подставив их в исходную систему уравнений:

При x ≈ 1 получаем:

y ≈ 5.67

x+y+xy ≈ 11.67

x^2+xy+y^2 ≈ 18.89

При x ≈ 4 получаем:

y ≈ -3.67

x+y+xy ≈ 11.33

x^2+xy+y^2 ≈ 19.11

Таким образом, решениями системы уравнений являются пары чисел (x, y) ≈ (1, 5.67) и (x, y) ≈ (4, -3.67).