Question

Докажите, что уравнение x^4-2x^3+3x^2-4x+5=0 не имеет решений​

Answer 1

Ответ: решений нет

Объяснение:

x^4-2x^3+3x^2-4x+5=0

x^4-2x^3+2x^2 +x^2-4x+5=0

x^2*(x^2-2x+2) +(x-2)^2+1=0

x^2* ( (x-1)^2 +1 )  +(x-2)^2 +1=0

x^2*(x-1)^2 +x^2 +(x-2)^2+1=0

Очевидно ,что  первые 3  слагаемых полные квадраты ,то есть   неотрицательны  и  число 1  строго положительно  , но  сумма неотрицательных  слагаемых и положительного  не может быть равна  0.

Вывод: решений нет

Answer 2

$(x^4-2x^3+x^2)+2(x^2-2x+1)+3=0;\ (x^2-x)^2+2(x-1)^2+3=0.$

Первое и второе слагаемые больше или равны нуля, третье строго больше нуля. Поэтому сумма больше нуля. Вывод:  уравнение не имеет решений.

Answer 3

Мы можем доказать, что уравнение x^4-2x^3+3x^2-4x+5=0 не имеет решений, используя метод доказательства от противного. Предположим, что уравнение имеет хотя бы один корень. Тогда мы можем разложить его на линейные множители вида (x - a), где "a" - корень уравнения.

Так как коэффициент при x^4 равен 1, то один из множителей обязательно будет иметь вид (x - a). Разделим исходное уравнение на (x - a), используя долгое деление:

x^3 + (a - 2)x^2 + (a^2 - 2a + 3)x - (a^3 - 3a^2 + 4a - 5) = 0

Так как у нас есть предположение, что уравнение имеет хотя бы один корень, то мы знаем, что x - a является множителем этого уравнения. Следовательно, уравнение выше можно записать в следующем виде:

(x - a)(x^2 + bx + c) = 0

где b и c - это коэффициенты квадратного уравнения x^2 + bx + c.

Раскрывая скобки, мы получим:

x^3 + bx^2 + cx - ax^2 - abx - ac = 0

x^3 + (b - a)x^2 + (c - ab)x - ac = 0

Так как x - a является множителем этого уравнения, мы можем записать, что:

x^3 + (b - a)x^2 + (c - ab)x - ac = (x - a)(x^2 + bx + c) = 0

Следовательно, мы имеем:

x^2 + bx + c = 0

Теперь мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы определить, имеет ли это квадратное уравнение действительные корни:

D = b^2 - 4ac

D = (b^2 - 4c) + 4ac

D = (b^2 - 4c) + 4c - 4c + 4ac

D = (b^2 - 4c) + 4c(1 - a)

Так как a является корнем изначального уравнения, то мы знаем, что a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 4a + 5 = 0. Это означает, что:

a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 4a + 4 = -1

(a^2 - a)^2 + (a - 2)^2 + 2 > 0

Таким образом, мы имеем:

D = (b^2 -