Question

Докажите, что выражение 40+a²-12a при любых значениях a принимает положительное значение

Answer 1

Объяснение:

Рассмотрим уравнение  

a² - 12a + 40 = 0

D = 12² - 4*40 = 144 - 160 = -16

D = -16 < 0, следовательно уравнение не имеет действительных решений (график функции не пересекает ось Ох), график полностью находится в одной полуплоскости.

Рассмотрим значение коэффициента при старшей степени:

ka² - ba + c

k = 1 > 0

Т.к. коэффициент при старшей степени положительный, ветви графика (парабола) направлена вверх.

График находится выше оси Ох, ветви направлены вверх, следовательно выражение a² - 12a + 40 при любом значении a принимает положительные значения

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение 40 + a² - 12a при любых значениях a принимает положительное значение, нужно доказать, что его минимальное значение всегда больше или равно 0.

Минимальное значение выражения достигается в точке вершины параболы, а уравнение вершины параболы вида y = a² + bx + c имеет вид x = -b / (2a), y = c - b² / (4a).

В данном случае a² - 12a + 40 представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при квадрате a положительный), и вершина параболы находится в точке a = 6.

Подставим a = 6 в выражение 40 + a² - 12a:

40 + 6² - 12 * 6 = 40 + 36 - 72 = 4

Таким образом, выражение принимает минимальное значение 4 при a = 6, что больше или равно 0. Следовательно, при любых значениях a выражение 40 + a² - 12a принимает положительное значение.