Question

Дана функция f(x)= 2x^3-6x+1 найдите координаты точек ее графика в которой касательная параллельна оси OX

Answer 1

Касательная - это такая прямая, которая касается графика функции в какой-либо точке, и нигде не пересекая.
Функция f(x) = 2x^2 -6x + 1  представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх (коэффициент перед x^2 больше нуля).
Представили параболу? Нарисуйте её. У параболы только касательная в её вершине  параллельна оси Ох.
Абсцисса вершины ищется по формуле (должны знать её)
x0 = - b/(2a) = - (-6)/(2*2) = 6/4 = 3/2
Для нахождения ординаты (координаты y), значение х0 подставляем в формулу функции.
y0 = f(3/2) =-3.5
Точка, где касательная параллельна оси Ох, единственная, её координаты: x =1.5; y = -3.5

Answer 2

Чтобы касательная к графику функции f(x) была параллельна оси OX, производная функции в этой точке должна быть равна нулю, то есть f'(x) = 0.

Найдем производную функции f(x):

f'(x) = 6x^2 - 6

Теперь найдем корни уравнения f'(x) = 0:

6x^2 - 6 = 0

x^2 - 1 = 0

(x - 1)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна оси OX:

Точка A: x = 1, f(1) = 21^3 - 61 + 1 = -3

Точка B: x = -1, f(-1) = 2*(-1)^3 - 6*(-1) + 1 = 9

Таким образом, координаты точек A и B равны:

A(1, -3)

B(-1, 9)