Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^3, y=x^2, x= -2, x= 1

Answer 1

f(x)=x^3-x^2

F(x)=x^4/4-x^3/3

F(1)=1/4-1/3=-1/12

F(-2)=16/4+8/3

S=|-1/12-4-32/12|=4+33/12=6,75

Answer 2

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нам необходимо найти точки пересечения этих линий и затем найти площадь между ними.

Первым шагом найдем точки пересечения этих линий. Подставим уравнения вместе:

y = x^3 y = x^2

Из этих уравнений можно выразить x:

x^3 = x^2 x^3 - x^2 = 0 x^2(x - 1) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 1.

Для определения границ площади, нам также даны границы x = -2 и x = 1. Очевидно, что площадь находится между этими границами.

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, нужно вычислить интеграл от (y2 - y1) dx от -2 до 1. Здесь y2 и y1 - это значения y для кривых y = x^3 и y = x^2 соответственно.

Интеграл площади будет равен:

∫[from -2 to 1] (x^3 - x^2) dx

Вычислим этот интеграл:

∫[from -2 to 1] (x^3 - x^2) dx = [x^4/4 - x^3/3] [from -2 to 1]

Подставляем пределы интегрирования:

(1^4/4 - 1^3/3) - ((-2)^4/4 - (-2)^3/3) = (1/4 - 1/3) - (16/4 - 8/3) = (3/12 - 4/12) - (48/12 - 32/12) = (-1/12) - (16/12) = -17/12

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^3, y = x^2, x = -2 и x = 1, равна -17/12. Обратите внимание, что площадь отрицательна, что может быть необычным для геометрической площади. Это происходит из-за того, что кривые пересекаются и в некоторых областях выше одной кривой, а в других областях ниже другой кривой.