Question

Упростите выражение: cos5a+cos6a+cos7a/sin5a+sin6a+sin7a

Answer 1

$\frac{cos5a+cos6a+cos7a}{sin5a+sin6a+sin7a} = \\ = \frac{(cos5a+cos7a)+cos6a}{(sin5a+sin7a)+sin6a} = \\ = \frac{2cos \frac{5a + 7a}{2}cos \frac{5a - 7a}{2} + cos6a}{2sin\frac{5a + 7a}{2}cos \frac{5a - 7a}{2} + sin6a} = \\ = \frac{2cos 6a \times cos a + cos6a}{2sin6a \times cos a+ sin6a} = \\ = \frac{cos 6a (2cos a + 1)}{sin6a( 2cos a+ 1)} = ctg6a$

Ответ: сtg 6a

Answer 2

Для упрощения данного выражения мы можем воспользоваться формулой суммы косинусов:

$$\cos(x) + \cos(y) = 2\cos\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Аналогично, мы можем использовать формулу суммы синусов:

$$\sin(x) + \sin(y) = 2\sin\left(\frac{x+y}{2}\right)\cos\left(\frac{x-y}{2}\right)$$

Применяя эти формулы к числителю и знаменателю выражения, мы получаем:

$$\begin{aligned} \frac{\cos 5a + \cos 6a + \cos 7a}{\sin 5a + \sin 6a + \sin 7a} &= \frac{2\cos\left(\frac{5a+7a}{2}\right)\cos\left(\frac{7a-5a}{2}\right) + \cos 6a}{2\sin\left(\frac{5a+7a}{2}\right)\cos\left(\frac{7a-5a}{2}\right) + \sin 6a} \\ &= \frac{2\cos 6a \cos a + \cos 6a}{2\sin 6a \cos a + \sin 6a} \\ &= \frac{\cos 6a (2\cos a + 1)}{\sin 6a (2\cos a + 1)} \\ &= \frac{\cos 6a}{\sin 6a} \\ &= \tan 6a \end{aligned}$$

Таким образом, выражение $\frac{\cos 5a + \cos 6a + \cos 7a}{\sin 5a + \sin 6a + \sin 7a}$ можно упростить до $\tan 6a$.