Question

25 баллов, решите пожалуйста Докажите, что неравенство 2х-х^2-3<0 выполняется при всех значениях х.

Answer 1

2x-x²-3<0   |×(-1)
x²-2x+3>0
x²-2x+1+2>0
(x-1)²+2>0   ⇒
Ответ: x∈(-∞;+∞)

Answer 2

Чтобы доказать, что неравенство 2х - х² - 3 < 0 выполняется для всех значений х, мы можем воспользоваться методом анализа функций или методом дискриминанта. Давайте воспользуемся методом дискриминанта.

Неравенство дано: 2х - х² - 3 < 0

Перепишем его в стандартной форме:

-х² + 2х - 3 < 0

Для начала найдем корни квадратного уравнения -х² + 2х - 3 = 0. Для этого вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac

где a = -1, b = 2 и c = -3.

D = 2² - 4(-1)(-3) = 4 - 12 = -8

Поскольку дискриминант D отрицательный, это означает, что квадратное уравнение -х² + 2х - 3 = 0 не имеет действительных корней. Таким образом, уравнение не пересекает ось х и всегда отрицательно или всегда положительно.

Теперь посмотрим на лидирующий коэффициент перед х², который равен -1. Так как коэффициент отрицательный, график параболы будет направлен вниз.

Таким образом, поскольку график параболы направлен вниз и не пересекает ось х, значение параболы будет всегда отрицательным для всех значений х. Исходное неравенство -х² + 2х - 3 < 0 выполняется для всех значений х.