Question

Помогите решить: |sinx|=1/2tgx * sin2x

Answer 1

IsinxI=(1/2)*tgx*sin2x     ОДЗ:  x≠π2+πn
IsinxI=0,5*sinx*2*sinx*cosx/cosx
IsinxI=sin²x
sin²x-IsinxI=0
Раскрываем модуль:
sinx>0
sin²x-sinx=0 
 sinx(sinx-1)=0  
sinx=0                   sinx-1=0
x₁=πn x₁∉               x₂=π/2+2πn  x₂∉ (по ОДЗ)            
sinx<0
-sinx=sin²x
sin²x+sinx=0
sinx(sinx+1)=0
sinx=0                    sinx+1=0    
x₃=πn  x₃∉              x₄=-π/2+2πn  x∉  (по ОДЗ)        
sinx=0
sin²x-0=0
x₅=πn.
Ответ: х=πn.

Answer 2

Мы можем начать с того, чтобы записать tgx как sinx/cosx, и заменить sin2x на 2sinx*cosx:

|sinx| = 1/2 * sinx/cosx * 2sinx*cosx

Затем мы можем умножить обе стороны уравнения на cosx, чтобы избавиться от знаменателя:

|sinx| * cosx = sinx * sinx * cosx

Теперь мы можем использовать тригонометрические тождества sin²x + cos²x = 1 и sin2x = 2sinx*cosx, чтобы переписать уравнение:

|sinx| * √(1-sin²x) = sinx * sin2x

Теперь мы можем заменить sin2x на 2sinx*cosx, и получить:

|sinx| * √(1-sin²x) = 2sin²x*cosx

Мы можем возвести обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

sin²x * (1-sin²x) = 4sin⁴x * cos²x

Упрощая, получаем:

sin⁴x + 4sin²x * cos²x - 4sin⁴x * cos²x = 0

sin⁴x - 4sin²x * cos²x + 4sin⁴x * cos²x = 0

(sin²x - 2sin²x * cos²x + cos⁴x) * (sin²x + 2sin²x * cos²x + cos⁴x) = 0

(sin²x - cos²x)² * (sin²x + cos²x)² = 0

(sin²x - cos²x)² * 1 = 0

(sin²x - cos²x)² = 0

sin²x - cos²x = 0

sin²x = cos²x

Так как sin²x + cos²x = 1, мы можем заменить cos²x на 1 - sin²x и получим:

sin²x = 1 - sin²x

2sin²x = 1

sinx = ±√(1/2)

Теперь мы можем решить для x, используя обратные тригонометрические функции:

x = π/4 + kπ/2 или x = 3π/4 + kπ/2, где k - любое целое число.

Таким образом, решениями исходного уравнения являются все углы x, которые удовлетворяют одному из следующих условий:

x = π/4 + kπ/2 или x = 3π/4 + kπ/2, где k - любое целое число.