Question

Y'/x -2y=(1-x²)e^x^2 Дифференциальное уравнение Срочно ребят прошу вас

Answer 1

$\frac{y'}{x}-2y=(1-x^2)\cdot e^{x^2}\; |\cdot x\ne o\\\\y'-2xy=(1-x^2)\cdot x\cdot e^{x^2}\\\\y=uv\; ,\; \; y'=u'v+uv'\\\\u'v+uv'-2uvx=(1-x^2)\cdot x\cdot e^{x^2}\\\\u'v+u\cdot (v'-2vx)=(1-x^2)\cdot x\cdot e^{x^2}\\\\a)\; \; \frac{dv}{dx}-2vx=0\; ,\; \; \int \frac{dv}{v}=\int 2x\, dx \; ,\; \; ln|v|=2\cdot \frac{x^2}{2}\\\\v=e^{x^2}\\\\b)\; \; u'\cdot e^{x^2}=(1-x^2)\cdot x\cdot e^{x^2}\\\\\int du=\int (1-x^2)\cdot x\cdot dx\\\\\int du=\int (x-x^3)\cdot dx\\\\u=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+C\\\\c)\; \; y=e^{x^2}\cdot (\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}+C)$

Answer 2

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

Первым шагом найдем интегрирующий множитель, умножив обе части уравнения на функцию μ(x):

μ(x) * (d/dx)y - 2μ(x)y = μ(x)(1 - x²)e^(x^2)

Теперь мы хотим выбрать функцию μ(x) так, чтобы левая часть уравнения стала полной производной относительно x. В данном случае, чтобы получить полную производную от (μ(x)y), нужно выбрать μ(x) равным e^(-2x) (обратите внимание, что это выбор не единственный и можно использовать другие интегрирующие множители).

Умножим обе части уравнения на μ(x):

e^(-2x) * (d/dx)y - 2e^(-2x)y = e^(-2x)(1 - x²)e^(x^2)

Теперь левая часть становится полной производной:

(d/dx)(e^(-2x)y) = e^(-2x)(1 - x²)e^(x^2)

Мы можем проинтегрировать обе части уравнения по x:

∫(d/dx)(e^(-2x)y) dx = ∫e^(-2x)(1 - x²)e^(x^2) dx

Теперь проинтегрируем обе части:

e^(-2x)y = ∫(1 - x²)e^(x^2) dx

Для вычисления правой части интеграла нам может потребоваться использование методов интегрирования по частям или замены переменной.

Решение этого интеграла выходит за рамки возможностей для простого текстового ответа. Однако, после вычисления интеграла вы можете решить полученное уравнение относительно y.

Обратите внимание, что это всего лишь общий метод решения дифференциальных уравнений, и решение может включать дополнительные шаги в зависимости от конкретного уравнения.