Question

В арифметической прогрессии сумма третьего и девятого члена равна 8.Найдите сумму первых 11-ти членов этой прогрессии

Answer 1

a₃ + a₉ = 8         S₁₁ =?

$+\left \{ {{a_{3}=a_{1}+2d } \atop {a_{9}=a_{1}+8d}} \right.\\\\a_{1}+2d+a_{1}+8d=8\\\\2a_{1}+10d=8\\\\S_{11}=\frac{2a_{1}+10d }{2}*11=\frac{8}{2}*11=44$

При решении была использована формула:

$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1) }{2}*n\\\\n=11\\\\S_{11}=\frac{2a_{1}+d(11-1) }{2} *11=\frac{2a_{1}+10d }{2} *n$

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся две формулы для арифметической прогрессии.

Формула для нахождения n-го члена прогрессии: a_n = a_1 + (n - 1)d,

где a_n - n-й член прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, d - разность прогрессии, n - номер члена прогрессии.

Формула для нахождения суммы первых n членов прогрессии: S_n = (n/2)(a_1 + a_n),

где S_n - сумма первых n членов прогрессии.

По условию задачи у нас есть следующие данные: a_3 + a_9 = 8.

Мы должны найти сумму первых 11 членов прогрессии: S_11 = a_1 + a_2 + ... + a_11.

Давайте найдем значения a_3 и a_9 с использованием данной информации: a_3 = a_1 + 2d, a_9 = a_1 + 8d.

Теперь мы можем составить уравнение: (a_1 + 2d) + (a_1 + 8d) = 8.

Раскроем скобки: 2a_1 + 10d = 8.

Для упрощения давайте разделим это уравнение на 2: a_1 + 5d = 4.

Теперь у нас есть два уравнения: a_1 + 5d = 4, S_11 = a_1 + a_2 + ... + a_11.

Нам нужно найти сумму первых 11 членов прогрессии S_11. Мы знаем, что a_n = a_1 + (n - 1)d, поэтому можно заметить, что: a_2 = a_1 + d, a_3 = a_1 + 2d, ... a_11 = a_1 + 10d.

Теперь мы можем переписать сумму S_11: S_11 = a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + 10d).

S_11 = 11a_1 + d + 2d + ... + 10d.

S_11 = 11a_1 + d(1 + 2 + ... + 10).

Мы знаем, что сумма первых n натуральных чисел равна (n(n+1))/2, поэтому: S_11 = 11a_1 + d(1 + 2 + ... + 10) = 11a_1 + d(10(10+1))/2 = 11a_1 + 55d.

Теперь мы имеем два уравнения: a_1 + 5d = 4, S_11 = 11a_1 + 55d.

Мы