Question

Решите уравнеие ctgx-4=5tng​

Answer 1

$\displaystyle ctgx-4=5tgx\\\\\text{OD3} :\quad \left[\begin{array}{ccc}sinx\neq0\\cosx\neq0\end{array}\right\quad \rightarrow\quad \left[\begin{array}{ccc}x\neq\pi n;\,\,n\in Z\\x\neq\frac{\pi}2+\pi n;\,\,n\in Z\end{array}\right\quad \rightarrow\quad x\neq\frac{\pi n}2;\,\,n\in Z\\\\\\\frac{1}{tgx}-4=5tgx\\\\1-4tgx=5tg^2x\\\\5tg^2x+4tgx-1=0\\\\tgx=t,\quad t\in R\\\\5t^2+4t-1=0\\\\\text{D}=16+20=36=6^2\\\\t_1=\frac{-4+6}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}5\\\\t_2=\frac{-4-6}{10}=-\frac{10}{10}=-1$

$\displaystyle \left[\begin{array}{ccc}\displaystyle tgx=\frac{1}5\\\\tgx=-1\end{array}\right\quad\rightarrow\quad\boxed{\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle x=arctg\bigg(\frac{1}5\bigg)+\pi n;\,\,n\in Z\\\\\displaystyle x=-\frac{\pi}4+\pi n;\,\,n\in Z\end{array}\right}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, нам необходимо преобразовать его до такой формы, в которой переменная будет отдельно. Давайте выполним несколько шагов:

1. Используем тождество котангенса: ctg(x) = 1/tg(x). Уравнение принимает вид: 1/tg(x) - 4 = 5*tg(x).

2. Перенесём 5tg(x) налево и 4 на право: 1/tg(x) - 5tg(x) = 4.

3. Общий знаменатель можно найти, умножив оба слагаемых на tg(x): 1 - 5tg^2(x) = 4tg(x).

4. Перенесём все слагаемые налево: 5tg^2(x) + 4tg(x) - 1 = 0.

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно tg(x). Мы можем применить квадратную формулу для его решения.

Решим уравнение 5tg^2(x) + 4tg(x) - 1 = 0:

tg(x) = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a),

где a = 5, b = 4 и c = -1.

tg(x) = (-4 ± sqrt(4^2 - 45(-1))) / (2*5), tg(x) = (-4 ± sqrt(16 + 20)) / 10, tg(x) = (-4 ± sqrt(36)) / 10, tg(x) = (-4 ± 6) / 10.

Получаем два возможных значения для tg(x):

1. tg(x) = (6 - 4) / 10 = 2 / 10 = 1/5.
2. tg(x) = (-6 - 4) / 10 = -10 / 10 = -1.

Итак, уравнение имеет два решения: tg(x) = 1/5 и tg(x) = -1.

Чтобы найти значения x, воспользуемся определением тангенса:

tg(x) = sin(x) / cos(x).

Для tg(x) = 1/5:

1/5 = sin(x) / cos(x).

Мы можем использовать тригонометрический треугольник со сторонами 1, 5 и sqrt(1^2 + 5^2) = sqrt(26). Из него следует, что sin(x) = 1, cos(x) = 5.

Таким образом, x = arcsin(1) = π/2 (плюс 2πk), где k - целое число.

Для tg(x) = -1:

-1 = sin(x) / cos(x).

В этом случае, sin(x) = -1, cos(x) = 1.

Соответственно, x = π + arcsin(-1) = π + (-π/2) = π/2 (