Question

Срочно! Докажите, что при любом натуральном значении n, выражение (n^2+n)(n+5) кратно 6. Заранее спасибо!

Answer 1

Раскроем скобки:

n(n² + 6n + 5) кратно шести.

6n² и так кратно шести, поэтому n³ + 5n кратно шести.

Пускай при делении n на 6 получим х плюс у в остаче, т. е. n/6 = x + y, тогда n можно записать как 6x + y, x ∈ Z, x ≥ 0, y ∈ {0;1;2;3;4;5}.

(6x + y)³ + 5*(6x + y) = (6x + y)((6x + y)² + 5) = (6x + y)(36x² + 12xy + y² + 5) = 216x³ + 72x²y + 6xy² + 30x + 36x²y + 12xy² + y³ + 5y = 216x³ + 108x²y + 18xy² + 30x + y³ + 5y.

Такие члены, как 216x³, 108x²y, 18xy², 30x делятся на 6, поэтому осталось доказать, что y³ + 5y = y(y² + 5) делится на 6.

Для этого просто рассмотрим все 6 случаев:

y = 0: 0 mod 6 = 0;
y = 1: 1 + 5 mod 6 = 0;
y = 2: 8 + 5*2 mod 6 = 0;
y = 3: 27 + 15 = 42 mod 6 = 0;
y = 4: 64 + 20 = 84 mod 6 = 0;
y = 5: 125 + 25 mod 6 = 0.

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение методом математической индукции.

1. Базисный шаг: При n = 1: (1^2 + 1)(1 + 5) = 2 * 6 = 12, что кратно 6.

2. Предположение индукции: Предположим, что для некоторого произвольного натурального числа k выражение (k^2 + k)(k + 5) кратно 6.

3. Индукционный шаг: Докажем, что утверждение верно для n = k + 1. Рассмотрим выражение (n^2 + n)(n + 5), где n = k + 1: ((k + 1)^2 + (k + 1))(k + 1 + 5) = (k^2 + 2k + 1 + k + 1)(k + 6) = (k^2 + 3k + 2)(k + 6) = k(k + 2)(k + 3)(k + 6)

   Рассмотрим два случая:

   3.1. Если k кратно 2: Тогда k = 2m для некоторого натурального числа m. Из предположения индукции (k^2 + k)(k + 5) кратно 6. Значит, k(k + 2)(k + 3)(k + 6) также кратно 6.

   3.2. Если k не кратно 2: Тогда k + 2 кратно 2, k + 3 кратно 2 и k + 6 кратно 2. Значит, k(k + 2)(k + 3)(k + 6) также кратно 6.

   В обоих случаях мы получаем, что k(k + 2)(k + 3)(k + 6) кратно 6.

Таким образом, мы доказали, что для любого натурального числа n выражение (n^2 + n)(n + 5) кратно 6 при помощи метода математической индукции.