Question

Как решать данное уравнение? ( логарифмы ) (log 81 по основанию x) + ( log x^2 по основанию 9 ) - 5 = 0

Answer 1

Первый логарифм приведём к основанию 9. Учтём, что 81 = 9²
log 81/logx + 2log x - 5 = 0 ( основание = 9)
2/log x +2logx -5 = 0 |·logx≠0 ( основание  = 9)
2 + 2log² x - 5 log x = 0 ( основание = 9
Решаем как квадратное 
2log ²x  - 5 log x +2 = 0
D = 9
а)logx = 2         или     б)   log x = 1/2
 осн-е 9                             осн-е 9
х = 9² = 81                           х = 9^1/2= 3
Ответ: 81;   3

Answer 2

Для решения данного уравнения с логарифмами, мы можем использовать свойства логарифмов, а именно:

1. logₐ(b) + logₐ(c) = logₐ(bc) - свойство суммы логарифмов
2. logₐ(b^n) = n * logₐ(b) - свойство степени логарифма

Применяя эти свойства, приведём данное уравнение к более простому виду:

(logₓ(81)) + (log₉(x²)) - 5 = 0

Теперь воспользуемся свойством степени логарифма, чтобы избавиться от логарифмов с разными основаниями:

logₓ(81) = logₓ(3⁴) = 4 * logₓ(3)

log₉(x²) = log₉((√x)⁴) = 4 * log₉(√x)

Подставляем обратно в исходное уравнение:

4 * logₓ(3) + 4 * log₉(√x) - 5 = 0

Теперь мы можем объединить два логарифма с помощью свойства суммы логарифмов:

4 * (logₓ(3) + log₉(√x)) - 5 = 0

Сократим коэффициент 4:

logₓ(3) + log₉(√x) - 5/4 = 0

Теперь мы можем объединить два логарифма в один, используя свойство суммы логарифмов:

logₓ(3 * 9^(1/2)) - 5/4 = 0

Упростим выражение:

logₓ(3 * 3^(1/2)) - 5/4 = 0

3 * 3^(1/2) = 3 * √3 = 3√3

Теперь уравнение принимает вид:

logₓ(3√3) - 5/4 = 0

Чтобы избавиться от логарифма, возводим основание x в степень, равную выражению под логарифмом:

x^(logₓ(3√3)) = x^(5/4)

Так как левая и правая части равны, мы получаем:

x^(logₓ(3√3)) = x^(5/4)

logₓ(3√3) = 5/4

Теперь мы можем применить свойство равенства логарифмов:

3√3 = x^(5/4)

Чтобы найти значение x, возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

(3√3)^(4/5) = (x^(5/4))^(4/5)

27 = x

Таким