Question

Найдите корни уравнений 2sinx-cosx=1-sin2x,принадлежащие полуинтервалу [-p;5p/6)

Answer 1

$2sinx-cosx=1-sin2x$
$2sinx-cosx=1-2sinx*cosx$
$2sinx-cosx-1+2sinx*cosx=0$
$(2sinx+2sinx*cosx)-(cosx+1)=0$
$2sinx*(1+cosx)-(cosx+1)=0$
$(2sinx-1)*(1+cosx)=0$
1)  $2sinx-1=0$
$sinx=0.5$
$x= \frac{ \pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z
$x= \frac{5 \pi }{6}+2 \pi k$, k∈Z

2)  $1+cosx=0$
$cosx=-1$
$x= \pi +2 \pi k$, k∈Z

Выборка корней (см. рисунок): красным заштрихован интервал, данный в условии задачи. Красными точками отмечены корни, попавшие в указанный интервал, черная точка - не попала в интервал.

Ответ:  $- \pi$,  $\frac{ \pi }{6}$

Answer 2

Данное уравнение можно преобразовать, используя формулы тригонометрии и замену. Перепишем уравнение в более удобном виде:

2sin(x) - cos(x) = 1 - sin(2x)

Применим формулы: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Заменим sin(2x) на выражение с помощью этой формулы:

2sin(x) - cos(x) = 1 - 2sin(x)cos(x)

Теперь у нас есть уравнение:

2sin(x) - cos(x) - 1 + 2sin(x)cos(x) = 0

Раскроем скобки:

3sin(x)cos(x) - cos(x) - 1 = 0

Факторизуем выражение:

cos(x) (3sin(x) - 1) - 1(3sin(x) - 1) = 0

(3sin(x) - 1)(cos(x) - 1) = 0

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. 3sin(x) - 1 = 0
2. cos(x) - 1 = 0

Решим первое уравнение:

3sin(x) - 1 = 0 sin(x) = 1/3

На полуинтервале [-p;5p/6), корень данного уравнения находится в интервале [0; p/2). Таким образом, получаем одно решение:

x = arcsin(1/3)

Решим второе уравнение:

cos(x) - 1 = 0 cos(x) = 1

На полуинтервале [-p;5p/6), корень данного уравнения находится в интервале [0; p/6). Таким образом, получаем второе решение:

x = 0

Итак, корни уравнения 2sin(x) - cos(x) = 1 - sin(2x), принадлежащие полуинтервалу [-p;5p/6), это x = arcsin(1/3) и x = 0.