Question

2sin^2x-3cosx-3=0 укажите корни принадлежащие отрезку [пи; 3пи]

Answer 1

2sin²x-3cosx-3=0
2(1-cos²x)-3cosx-3=0
2-2cos²x-3cosx-3=0
-2cos²x-3cosx-1=0
2cos²x+3cosx+1=0
cosx=y
2y²+3y+1=0
D=3²-4*2=1
y₁=(-3+1)/4=-2/4=-0.5
y₂=(-3-1)/4=-1

cosx=-1/2
x=+-2π/3+2πk, k∈Z
[π; 3π]
x=4π/3
x=8π/3

cosx=-1
x=π+2πk, k∈Z
x=π
x=3π

Ответ 4π/3; π; 8π/3; 3π

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x). Таким образом, уравнение примет вид:

2(1 - cos^2(x)) - 3cos(x) - 3 = 0.

Раскроем скобки:

2 - 2cos^2(x) - 3cos(x) - 3 = 0.

Перенесем все слагаемые влево:

-2cos^2(x) - 3cos(x) - 1 = 0.

Умножим все коэффициенты на -1, чтобы получить положительный коэффициент перед первым слагаемым:

2cos^2(x) + 3cos(x) + 1 = 0.

Теперь решим это квадратное уравнение. Обозначим cos(x) за t:

2t^2 + 3t + 1 = 0.

Мы можем факторизовать это уравнение:

(2t + 1)(t + 1) = 0.

Таким образом, у нас есть два возможных значения для t:

2t + 1 = 0 => t = -1/2, t + 1 = 0 => t = -1.

Теперь вернемся к исходному уравнению и заменим t обратно на cos(x):

cos(x) = -1/2 или cos(x) = -1.

На отрезке [π; 3π] корень cos(x) = -1 соответствует значениям x = π и x = 3π. Однако, чтобы найти корень cos(x) = -1/2 на данном отрезке, нам необходимо найти соответствующий угол, где cos(x) = -1/2.

Так как cos(x) = -1/2 соответствует значению cos(x) в третьем квадранте, мы можем использовать связь между тригонометрическими функциями для нахождения значения sin(x). В третьем квадранте sin(x) отрицательный.

Известно, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Подставим sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

1 - cos^2(x) + cos^2(x) = 1, 1 = 1.

Таким образом, sin(x) в третьем квадранте будет равен -√3/2.

Итак, мы получаем два корня на отрезке [π; 3π]:

x₁ = π, x₂ = 7π/3.