Question

Докажите что функция F(x)=e^3x+cosx+x является первообразной функции f(x)=3e^3x-sinx+1

Answer 1

Известно, что дифференцируемая функция  является производной от своей первообразной, поскольку действия дифференцирования и интегрирования взаимно обратные действия.
Найдём производную F'(x), и если она совпадёт с функцией f(x), то F(x) - является первообразной функции f(x)
F'(x) = 3e^3x - sinx + 1 совпала с функцией f(x) = 3e^3x - sinx + 1, следовательно, F(x) является первообразной функции f(x)

Answer 2

Чтобы доказать, что функция F(x) = e^(3x) + cos(x) + x является первообразной для функции f(x) = 3e^(3x) - sin(x) + 1, мы должны убедиться, что производная F'(x) равна f(x).

Давайте вычислим производную функции F(x):

F'(x) = (e^(3x))' + (cos(x))' + (x)'.

Производная e^(3x) равна 3e^(3x) по правилу цепочки. Производная cos(x) равна -sin(x) по правилу производной тригонометрической функции. Производная x равна 1, так как x является линейной функцией.

Таким образом, F'(x) = 3e^(3x) - sin(x) + 1.

Мы видим, что F'(x) равна функции f(x). Это означает, что производная функции F(x) совпадает с функцией f(x).

Следовательно, функция F(x) = e^(3x) + cos(x) + x является первообразной для функции f(x) = 3e^(3x) - sin(x) + 1.