Question

Напишите уравнение касательной к графику функции f (x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4 в точке с абциссой x0 = 1

Answer 1

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ - уравнение касательной

$f (x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4,$       $x_0=1$
$f' (x) = (x^3 - 3x^2 + 2x + 4)'=3x^2-6x+2$
$f' (1) =3*1^2-6*1+2=3-6+2=-1$
$f (1) = 1^3 - 3*1^2 + 2*1 + 4=1-3+2+4=4$

$y=4+(-1)(x-1)$
$y=4-x+1$
$y=-x+5$

Answer 2

Для написания уравнения касательной к графику функции в заданной точке, нам понадобятся значения производной функции в этой точке.

Сначала найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 6x + 2

Затем найдем значение производной в точке x0 = 1: f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1

Теперь, используя найденное значение производной в точке x0 = 1 и координаты точки (1, f(1)), мы можем записать уравнение касательной линии в форме точка-наклонность:

y - y0 = m(x - x0)

где (x0, y0) - заданная точка на графике функции, а m - значение производной в этой точке.

В нашем случае, x0 = 1, y0 = f(1) и m = -1. Вычислим y0:

f(1) = (1)^3 - 3(1)^2 + 2(1) + 4 = 1 - 3 + 2 + 4 = 4

Теперь мы можем записать уравнение касательной линии:

y - 4 = -1(x - 1)

или

y = -x + 5

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 4 в точке с абсциссой x0 = 1 имеет вид y = -x + 5.