Question

Решить,но не через фотомач и не используя формулу Лопиталя, подробно а)Lim arcsin8x/5xb)Lim 1-cos4x/1-cos16xc)Lim 1-cos7x/1-cos8xВезде х--->0ответы которые должны получиться:а)1.6b)1/16c)49/64​

Answer 1

$1)\; \lim\limits _{x \to 0}\frac{arcsin8x}{5x}=[\; arcsin\alpha \sim \alpha \; \; pri\; \alpha \to 0\; ]=\lim\limits _{x \to 0}\frac{8x}{5x}=\frac{8}{5}=1,6\\\\\\2)\; \lim\limits _{x \to 0}\frac{1-cos4x}{1-cos16x}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{2sin^22x}{2sin^28x}=[\; sin\alpha \sim \alpha \; \; pri\; \alpha \to 0\; ]=\lim\limits _{x \to 0}\frac{(2x)^2}{(8x)^2}=\\\\=\lim\limits _{x \to 0}\frac{4x^2}{64x^2}=\frac{4}{64}=\frac{1}{16}$

$3)\; \lim\limits _{x \to 0}\frac{1-cos7x}{1-cos8x}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{2sin^2\frac{7x}{2}}{2sin^24x}=\lim\limits _{x \to 0}\frac{49x^2}{4\cdot 16x^2}=\frac{49}{64}$

Answer 2

Для решения этих пределов без использования формулы Лопиталя можно воспользоваться некоторыми простыми математическими преобразованиями и свойствами тригонометрических функций. Давайте рассмотрим каждый из пределов по очереди:

а) Lim (arcsin(8x))/(5x) при x --> 0.

Начнем с использования свойства предела, которое гласит, что если пределы функций f(x) и g(x) существуют и равны конечным числам L и M соответственно, то предел их отношения f(x)/g(x) равен L/M, при условии, что M не равно 0.

Применим это свойство к данному пределу. Введем новую переменную t = 8x, и предел примет следующий вид:

Lim (arcsin(t))/(5t/8) при t --> 0.

Теперь мы можем переписать предел в более удобной форме, используя свойство предела arcsin(t)/t, при t --> 0, которое равно 1:

Lim (arcsin(t))/(5t/8) = (8/5) * Lim (arcsin(t))/t при t --> 0.

Теперь мы можем видеть, что предел сводится к пределу arcsin(t)/t, который равен 1 при t --> 0. Поэтому предел исходной функции равен (8/5) * 1 = 8/5 = 1.6.

Ответ: а) 1.6.

b) Lim (1 - cos(4x))/(1 - cos(16x)) при x --> 0.

Применим формулу для разности косинусов cos(a) - cos(b), которая равна -2 * sin((a+b)/2) * sin((a-b)/2):

Lim (1 - cos(4x))/(1 - cos(16x)) = Lim (2 * sin^2(2x))/(2 * sin^2(8x)) при x --> 0.

Теперь мы можем сократить сомножители 2 и получим:

Lim (sin^2(2x))/(sin^2(8x)) при x --> 0.

Заметим, что sin^2(2x) / sin^2(8x) = (sin(2x) / sin(8x))^2.

Теперь применим еще одно свойство предела: если предел функции f(x)/g(x) равен L, то предел (f(x))^n/(g(x))^n равен L^n при условии, что L не равно 0 и n является целым числом.

В нашем случае, когда x --> 0, мы имеем:

Lim (sin^2(2x))/(sin^2(8x)) = Lim (sin(2x) / sin(8x))^2 = (