Question

Интеграл 3х√х dx помогитее

Answer 1

Можно решить двумя способами.
1. представить √x в виде степени, т.е.  $x^{ \frac{1}{2} }$, тогда подынтегральная функция примет вид:
$\int\limits {3x*x^{ \frac{1}{2} }} \, dx= \int\limits {3x^{ \frac{3}{2} }} \, dx$
Интеграл от произведения функции на константу есть произведение этой константы на интеграл от данной функции:
$\int\limits {3x^{ \frac{3}{2} }} \, dx=3 \int\limits {x^{ \frac{3}{2} }} \, dx$
Интеграл  $\int\limits {x^{n}} \, dx= \frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\int\limits{x^{ \frac{3}{2} }} \, dx= \frac{x^{ \frac{3}{2}+1 }}{ \frac{3}{2}+1 }= \frac{x^{ \frac{5}{2} }}{ \frac{5}{2} }= \frac{2x^{ \frac{5}{2} }}{5}+C$
Подставляем в наш исходный интеграл
$\int\limits {3x \sqrt{x} } \, dx =3 \int\limits {x^{ \frac{3}{2} }} \, dx =3* \frac{2x^{ \frac{5}{2} }}{5}= \frac{6x^{ \frac{5}{2} }}{5} +C$

2. Введём замену переменной
u=√x
тогда  $du= \frac{dx}{2 \sqrt{x} }$
отсюда  $dx=2 \sqrt{x} *du=2u*du$
Подставляем
$\int\limits{3*u^2*u*2u} \, du = 3\int\limits {u^4} \, du =6 \frac{u^5}{5}+C$
Выполняем обратную замену
$\frac{6u^5}{5}+C= \frac{6x^{ \frac{5}{2} }}{5} +C$

Answer 2

Конечно! Я могу помочь вам с решением интеграла. Давайте рассмотрим ваш интеграл:

∫ 3x√x dx

Для решения этого интеграла мы можем использовать метод интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - функции переменной x, а du и dv - соответствующие дифференциалы.

В данном случае, мы можем выбрать:

u = √x (берем √x как первую функцию) dv = 3x dx (берем 3x как вторую функцию)

Теперь найдем du и v, возьмем производные от u и проинтегрируем v:

du = (1/2√x) dx v = ∫ 3x dx = (3/2)x^2

Теперь мы можем применить формулу интегрирования по частям:

∫ 3x√x dx = uv - ∫ v du = √x * (3/2)x^2 - ∫ (3/2)x^2 * (1/2√x) dx = (3/2)x^(5/2) - (3/4) ∫ x^(3/2) dx.

Теперь у нас есть еще один интеграл, но он более простой:

∫ x^(3/2) dx = (2/5) x^(5/2).

Теперь мы можем подставить это значение обратно в исходный интеграл:

∫ 3x√x dx = (3/2)x^(5/2) - (3/4) * (2/5) x^(5/2) = (3/2 - 3/10) x^(5/2) = (12/10 - 3/10) x^(5/2) = (9/10) x^(5/2).

Таким образом, окончательное решение интеграла ∫ 3x√x dx равно (9/10) x^(5/2) + C, где C - произвольная постоянная.