Question

15 в 10 степени - 15 в 12 степени + 15 в 11 степени нужно доказать то что это число делится на 95 и 475 помогите пожалуйста умоляю заранее спасибо !!!

Answer 1

Вынесли 15^10 за скобки, разложили 209 на множители. затем из 15^10 брали по одному множителю, домножая его на делители 209, получая 95 (=15*5) и 475 (=95*5)

Answer 2

Для доказательства, что число $15^{10} - 15^{12} + 15^{11}$ делится на 95 и 475, мы можем воспользоваться свойствами делимости и факторизацией.

Сначала рассмотрим делимость на 95. Число 95 разлагается на простые множители: $95 = 5 \times 19$. Для доказательства делимости на 95, нам нужно показать, что каждый из множителей 5 и 19 делит данное число.

1. Множитель 5: Мы заметим, что каждое слагаемое в выражении $15^{10} - 15^{12} + 15^{11}$ делится на 5, так как 15 делится на 5. Таким образом, сумма также будет делиться на 5.

2. Множитель 19: Для доказательства делимости на 19, мы воспользуемся малой теоремой Ферма. Эта теорема утверждает, что если $p$ - простое число, то для любого целого числа $a$ верно: $a^p \equiv a \mod p$.

Применяя малую теорему Ферма к каждому слагаемому в выражении $15^{10} - 15^{12} + 15^{11}$ по модулю 19, получаем:

$15^{10} \equiv 15 \mod 19$ $15^{12} \equiv 15^2 \equiv 15 \mod 19$ $15^{11} \equiv 15 \mod 19$

Теперь можем переписать исходное выражение:

$15^{10} - 15^{12} + 15^{11} \equiv 15 - 15 + 15 \equiv 15 \mod 19$

Таким образом, исходное выражение также делится на 19.

Итак, мы доказали, что число $15^{10} - 15^{12} + 15^{11}$ делится и на 5, и на 19. Поэтому оно делится и на их произведение: 95.

Теперь рассмотрим делимость на 475. Число 475 разлагается на простые множители: $475 = 5^2 \times 19$. Мы уже доказали, что исходное выражение делится на 5 и 19. Также мы знаем, что если число делится на два взаимно простых множителя, то оно также делится на их произведение. Таким образом, число $15^{10} - 15^{12} + 15^{11}$ делится на 475.

Таким образом, мы доказали, что исходное число делится как на 95, так и на 475.