Question

Решите неравенство: x log_(x+2)⁡〖(2x+5)〗≥0

Answer 1

$x\cdot \log_{x+2}(2x+5)\geq 0$

Используем метод рационализации:

$\begin {cases} x+2>0\\ x+2\neq 1\\ 2x+5>0 \\ x(x+2-1)(2x+5-1)\geq 0 \end {cases}\Rightarrow \begin {cases} x>-2\\ x\neq -1\\ x(x+1)(2x+4)\geq 0 \end {cases}\Rightarrow\\ \Rightarrow \begin {cases} x>-2\\ x\neq -1\\ x(x+1)(x+2)\geq 0 \end {cases}$

Схема для последнего неравенства системы:

  -       +       -      +

------|www|-----|wwww>

     -2     -1     0

с учетом условий х > -2, x ≠ -1 получим: х ∈ (-2; -1) ∪ [0; +∞).

Ответ: (-2; -1) ∪ [0; +∞).

Answer 2

Для решения данного неравенства нужно рассмотреть три интервала: (-∞, -2), (-2, -5/2), и (-5/2, +∞). Начнем с интервала (-∞, -2):

1. Для x < -2, оба выражения x и (x + 2) будут отрицательными. В этом случае неравенство будет выполняться, если логарифм будет неотрицательным. Однако, логарифм отрицательного числа не определен. Поэтому данное неравенство не имеет решений в интервале (-∞, -2).

Перейдем к интервалу (-2, -5/2):

2. Для -2 < x < -5/2, значение (x + 2) будет положительным, а x может быть как положительным, так и отрицательным. В этом случае неравенство будет выполняться, если и только если x > 0. Также обратите внимание, что логарифм от положительного числа всегда положителен. Поэтому решение неравенства в этом интервале - все положительные числа больше -2.

Теперь рассмотрим интервал (-5/2, +∞):

3. Для x > -5/2, оба выражения x и (x + 2) будут положительными. В этом случае неравенство будет выполняться, если логарифм будет неотрицательным. Для этого нужно, чтобы (2x + 5) ≥ 1, так как логарифм от 1 равен 0. Решая данное неравенство, получаем 2x + 5 ≥ 1, откуда x ≥ -2.

Таким образом, решением неравенства x log_(x+2)⁡(2x+5) ≥ 0 является множество всех положительных чисел больше -2, то есть (-2, +∞).