Question

При каких значениях а оба корня уравнения x^-(a-1)x+a+4=0 отрицательные

Answer 1

1) Чтобы оба корня уравнения были отрицательными, надо сначала потребовать, чтобы они были. То есть, чтобы дискриминант этого уравнения был неотрицательным.
D=(a-1)²-4·(a+4)=a²-2a+1-4a-16=a²-6a-15≥0
a≥3+2√6    или   a≤3-2√6

2) Это уравнение приведенное. Воспользуемся теоремой Виета. Известно, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

3) Так оба корня отрицательные, то их сумма также отрицательная, то есть 
a-1<0⇒  a<1

4) Так как оба корня отрицательные, то их произведение положительное, то есть
a+4>0 ⇒ a>- 4

5) Собирая все ограничения вместе, получим, что а∈ (- 4; 3-2√6)

Answer 2

Давайте решим уравнение и найдем значения a, при которых оба корня отрицательные.

Уравнение: x^2 - (a - 1)x + a + 4 = 0

Используем квадратное уравнение для нахождения корней:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

В данном случае a = 1, b = -(a - 1) = -a + 1 и c = a + 4.

Подставим значения в формулу:

x = (-(a - 1) ± √((a - 1)^2 - 4(1)(a + 4))) / (2(1))

x = (-a + 1 ± √(a^2 - 2a + 1 - 4a - 16)) / 2

x = (-a + 1 ± √(a^2 - 6a - 15)) / 2

Чтобы оба корня были отрицательными, нам нужно, чтобы выражение под корнем было положительным, а знак перед корнем должен быть минусом.

a^2 - 6a - 15 > 0

Решим это неравенство.

(a - 3)(a + 5) > 0

Теперь мы имеем два интервала, где неравенство может быть истинным:

1. a - 3 > 0 и a + 5 > 0 a > 3 и a > -5 (так как нам нужно, чтобы оба выражения были положительными) Интервал: a > 3

2. a - 3 < 0 и a + 5 < 0 a < 3 и a < -5 (так как нам нужно, чтобы оба выражения были отрицательными) Интервал: a < -5

Таким образом, когда a принадлежит интервалу (-∞, -5) объединенному с (3, +∞), оба корня уравнения x^2 - (a - 1)x + a + 4 = 0 будут отрицательными.