Question

Решите пожалуйста интегралы 2+x^2/x dx(2x^2-cosx) dx

Answer 1

1)(2+x²)/xdx=(2/x+x)dx=2lnx+1/2*x²+C
2)(2x²-cosx)dx=2x²dx-cosx dx=2/3*x³-
sinx+C

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из интегралов по отдельности.

1. Интеграл ∫ (2 + x^2) / x dx:

Для начала, разделим выражение на две части:

∫ (2/x) dx + ∫ (x^2/x) dx

Первый интеграл ∫ (2/x) dx может быть вычислен как:

= 2 ∫ (1/x) dx = 2 ln|x| + C1, где C1 - произвольная постоянная.

Второй интеграл ∫ (x^2/x) dx сводится к:

= ∫ x dx = (1/2) x^2 + C2, где C2 - произвольная постоянная.

Итак, суммируя результаты, получаем:

∫ (2 + x^2) / x dx = 2 ln|x| + (1/2) x^2 + C,

где C = C1 + C2, и C - произвольная постоянная.

2. Интеграл ∫ (2x^2 - cosx) dx:

Для вычисления этого интеграла используем метод интегрирования по частям. Пусть u = x^2, dv = 2x dx. Тогда du = 2x dx и v = ∫ dv = ∫ 2x dx = x^2.

Применяя формулу интегрирования по частям ∫ u dv = uv - ∫ v du, получаем:

∫ (2x^2 - cosx) dx = x^2 * 2x - ∫ (x^2 * 2) dx = 2x^3 - 2 ∫ x^2 dx.

Интеграл ∫ x^2 dx может быть вычислен как:

= (1/3) x^3 + C3, где C3 - произвольная постоянная.

Итак, суммируя результаты, получаем:

∫ (2x^2 - cosx) dx = 2x^3 - (2/3) x^3 + C3 = (4/3) x^3 + C3.

Таким образом, окончательные решения интегралов равны:

1. ∫ (2 + x^2) / x dx = 2 ln|x| + (1/2) x^2 + C,

2. ∫ (2x^2 - cosx) dx = (4/3) x^3 + C3.

Где C, C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.