Question

Найти интеграл  f(x)=1/(6x-1)^4  x=1/3 x=0

Answer 1

F(x)=1/6 *((6x-1)^(-4+1) / (-4+1)+c=-1/6 * 1/(3(6x-1)^3)+c=-1/(18(6x-1)^3 +c
поэтому интеграл (от 0 до 1/3) 1/(6x-1)^4 dx=-1/(18(6x-1)^3 |от 0 до 1/3=
=-1/(18*(6*1/3-1)^3 )+1/(18(6*0-1)^3)=-1/18-1/18=-2/18=-1/9
 Проверьте, пожалуйста сами!

Answer 2

Чтобы найти интеграл функции $f(x) = \frac{1}{{(6x-1)^4}}$, можно воспользоваться методом замены переменной. Для данной функции удобно сделать замену $u = 6x-1$, откуда $du = 6dx$. Тогда новые пределы интегрирования будут $u(1/3) = 6 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1$ и $u(0) = 6 \cdot 0 - 1 = -1$.

Выполняя замену переменной, получим новый интеграл: $\int_{-1}^{1} \frac{1}{(6x-1)^4} dx = \frac{1}{6} \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^4} du.$

Теперь найдем значение этого интеграла: $\frac{1}{6} \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^4} du = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{3u^3} \right) \bigg|_{-1}^{1} = \frac{1}{6} \left( -\frac{1}{3(1)^3} + \frac{1}{3(-1)^3} \right).$

Упростим это выражение: $\frac{1}{6} \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{6} \cdot 0 = \boxed{0}.$

Таким образом, значение интеграла равно 0.