Question

Может ли разность 2011⋅()−2012⋅() являться кубом целого числа?

Answer 1

Пусть х =2012, тогда выражение примет вид:
(x-1)(x+1)^3-x(x-2)^3=(x-2+1)(x+1)^3-(x+1-1)(x-2)^3=(x-2)(x+1)^3+(x+1)^3-(x+1)(x-2)^3+(x-2)^3=(x-2)(x+1)((x+1)^2-(x-2)^2)+(x+1)^3+(x-2)^3=(x-2)(x+1)*3*((x+1)+(x-2))+(x+1)^3+(x-2)^3=3(x-2)^2(x+1)+3(x-2)(x+1)^2+(x+1)^3+(x-2)^3=(x-2+x-1)^3=(2x-1)^3=4023^3 - является

Наверное существует более красивое решение(

Answer 2

Для определения того, может ли разность 2011⋅(x) − 2012⋅(y) являться кубом целого числа, где x и y являются целыми числами, необходимо рассмотреть данное выражение более подробно.

Предположим, что данная разность является кубом целого числа. То есть существует целое число z, такое что:

2011⋅(x) − 2012⋅(y) = z^3

Мы можем выразить x в зависимости от y и z:

x = (z^3 + 2012⋅(y)) / 2011

Теперь заметим, что число 2011 является простым числом. Это означает, что для того, чтобы получить целое значение для x, выражение в числителе должно быть кратным 2011.

Однако, выражение z^3 + 2012⋅(y) не может быть кратным 2011 для всех значений z и y, так как z^3 может принимать разные остатки при делении на 2011. Таким образом, невозможно подобрать целые значения x и y, чтобы разность 2011⋅(x) − 2012⋅(y) была кубом целого числа.

Итак, ответ на ваш вопрос: нет, разность 2011⋅(x) − 2012⋅(y) не может быть кубом целого числа.