Question

Найдите решение тригоном.неравенства: 1) 2sin^2(x+3П/2)≥1/2 3П/2-дробь 2)ctg3x-√3≥0

Answer 1

$2\sin^2(x+ \cfrac{3 \pi }{2}) \geq \cfrac{1}{2} \\\ \sin^2(x+ \cfrac{3 \pi }{2}) \geq \cfrac{1}{4} \\\ \left[ \begin{matrix} \sin(x+ \cfrac{3 \pi }{2}) \geq \cfrac{1}{2} \\ \sin(x+ \cfrac{3 \pi }{2}) \leq -\cfrac{1}{2} \end{array}\right. \\\ \left[ \begin{matrix} \cfrac{ \pi }{6}+2 \pi k \leq x+ \cfrac{3 \pi }{2} \leq \cfrac{ 5\pi }{6}+2 \pi k \\ - \cfrac{5 \pi }{6}+2 \pi n \leq x+ \cfrac{3 \pi }{2} \leq -\cfrac{ \pi }{6}+2 \pi n \end{array}\right.$
$\left[ \begin{matrix} \cfrac{ \pi }{6}- \cfrac{3 \pi }{2}+2 \pi k \leq x \leq \cfrac{ 5\pi }{6}- \cfrac{3 \pi }{2}+2 \pi k \\ - \cfrac{5 \pi }{6}- \cfrac{3 \pi }{2}+2 \pi n \leq x \leq -\cfrac{ \pi }{6}- \cfrac{3 \pi }{2}+2 \pi n \end{array}\right. \\\ \left[ \begin{matrix} - \cfrac{4 \pi }{3}+2 \pi k \leq x \leq -\cfrac{ 2\pi }{3}+2 \pi k, \ k\in Z \\ - \cfrac{7 \pi }{3}+2 \pi n \leq x \leq- \cfrac{5 \pi }{3}+2 \pi n, \ n\in Z \end{array}\right.$

$\mathrm{ctg}3x- \sqrt{3} \geq 0 \\\ \mathrm{ctg}3x \geq \sqrt{3} \\\ \pi n\ \textless \ 3x \leq \cfrac{ \pi }{6}+ \pi n \\\ \cfrac{\pi n}{3} \ \textless \ x \leq \cfrac{ \pi }{18}+ \cfrac{\pi n}{3}, \ n\in Z$

Answer 2

1. Начнем с первого неравенства:

2sin^2(x + 3П/2) ≥ 1/2

Перепишем sin^2(x + 3П/2) как (1 - cos^2(x + 3П/2)):

2(1 - cos^2(x + 3П/2)) ≥ 1/2

Упростим:

1 - cos^2(x + 3П/2) ≥ 1/4

Перенесем все на одну сторону и упростим:

cos^2(x + 3П/2) ≤ 3/4

Воспользуемся идентичностью cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2:

(1 + cos(2(x + 3П/2)))/2 ≤ 3/4

1 + cos(2x + 3П) ≤ 6/4

cos(2x + 3П) ≤ 1/2

Находим все значения углов, для которых выполняется это неравенство:

2x + 3П ≤ П/3 или 2x + 3П ≥ 5П/3

2x ≤ -8П/3 или 2x ≥ 2П/3

x ≤ -4П/3 или x ≥ П/3

Таким образом, решением данного неравенства является:

x ≤ -4П/3 или x ≥ П/3

2. Перейдем ко второму неравенству:

ctg(3x) - √3 ≥ 0

Перепишем ctg(3x) как 1/tan(3x):

1/tan(3x) - √3 ≥ 0

Умножим обе части неравенства на tan(3x):

1 - √3tan(3x) ≥ 0

Перенесем √3tan(3x) на другую сторону:

1 ≥ √3tan(3x)

Теперь поделим обе части неравенства на √3:

1/√3 ≥ tan(3x)

tan^(-1)(1/√3) ≥ 3x

3x ≤ tan^(-1)(1/√3)

x ≤ (1/3)tan^(-1)(1/√3)

Таким образом, решением данного неравенства является:

x ≤ (1/3)tan^(-1)(1/√3)