Question

Применяя метод математической индукции,докажите,что для любого n, n∈N*,истинно высказывание 1+2+....+2ⁿ⁻¹ =2ⁿ-1

Answer 1

Ну вообще -то это геометрическая прогрессия и формула и без индукции легко получается. Вам надо с индукцией.
Для п=2 формула верна. Действительно 1+2=4-1.
Пусть это верно для п. Тогда для (п+1)  2^(n+1)-1=2^n-1+2^(n)=2*(2^n)-1, что и доказывает справедливость формулы.

Answer 2

Докажем данное высказывание с использованием метода математической индукции.

Шаг 1: База индукции При n = 1, левая сторона равна 1, а правая сторона равна 2^1 - 1 = 2 - 1 = 1. Обе стороны равны между собой, поэтому база индукции выполняется.

Шаг 2: Индукционное предположение Предположим, что высказывание верно для некоторого k, где k ∈ N*, то есть: 1 + 2 + ... + 2^(k-1) = 2^k - 1

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что высказывание верно для n = k + 1, используя индукционное предположение.

Рассмотрим левую сторону выражения для n = k + 1: 1 + 2 + ... + 2^k + 2^(k+1) - 1

Мы можем заметить, что это выражение состоит из суммы первых k слагаемых (которая согласно индукционному предположению равна 2^k - 1) и последнего слагаемого 2^(k+1) - 1:

(2^k - 1) + (2^(k+1) - 1)

Раскроем скобки и упростим выражение: 2^k + 2^(k+1) - 2 - 1 2^k + 2^k * 2 - 3 2 * 2^k - 3 2^(k+1) - 3

Мы видим, что левая сторона равна 2^(k+1) - 3, а правая сторона равна 2^(k+1) - 1. Обе стороны равны между собой, поэтому высказывание верно и для n = k + 1.

Заключение Мы доказали, что если высказывание верно для некоторого k, то оно также верно и для n = k + 1. Исходя из базы индукции и индукционного перехода, можно заключить, что данное высказывание верно для любого n, где n ∈ N*.