Question

Помогите решить предел, через первый замечательный предел

Answer 1

$\lim_{x \to 0} \dfrac{2x}{sin \dfrac{x}{2} } = \lim_{x \to 0}\dfrac{ 4\cdot \dfrac{x}{2} }{sin \dfrac{x}{2} } = 4 \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x}{2} }{sin \dfrac{x}{2} } = 4 \cdot 1 = 4$

Answer 2

Конечно, я могу помочь решить предел с использованием первого замечательного предела. Первый замечательный предел гласит:

lim(x->0) (sin(x))/x = 1.

Предположим, у нас есть предел следующего вида:

lim(x->a) (f(x))/g(x),

где lim(x->a) f(x) = 0 и lim(x->a) g(x) = 0.

Чтобы решить этот предел, мы можем воспользоваться первым замечательным пределом, заменив функции f(x) и g(x) следующим образом:

f(x) = sin(x) - sin(a), g(x) = x - a.

Тогда предел можно переписать в виде:

lim(x->a) [(sin(x) - sin(a))/(x - a)].

Мы видим, что теперь f(x)/g(x) принимает форму, для которой мы знаем первый замечательный предел. Поэтому, используя первый замечательный предел, получаем:

lim(x->a) [(sin(x) - sin(a))/(x - a)] = lim(x->a) [(sin(x) - sin(a))/(x - a)] * [sin(x)/sin(x)].

Можно записать это как:

lim(x->a) [(sin(x) - sin(a))/(x - a)] * [sin(x)/sin(x)] = lim(x->a) [(sin(x) - sin(a))/(x - a)] * [(sin(x))/x] * [x/sin(x)].

Теперь мы можем использовать первый замечательный предел для первого и третьего множителей:

lim(x->a) [(sin(x) - sin(a))/(x - a)] * [(sin(x))/x] * [x/sin(x)] = 1 * 1 * 1 = 1.

Таким образом, предел равен 1.