Question

Срочно Пожалуйста даю 45 баллов f(x)=sqrt(cosx)+log47(-x^2+3x-2) найти область определения . Мне не нужны тупо копированные ответы с интернета , за это баллов не даю

Answer 1

Функция существует, когда подкоренное выражение неотрицательно и под логарифмическое выражение положительно, т.е.

$\displaystyle \left \{ {{\cos x\geq 0} \atop {-x^2+3x-2>0~|\cdot (-1)}} \right.\Rightarrow\left \{ {{\cos x\geq 0} \atop {x^2-3x+2$

Решение первого неравенства $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}$

Решение второго неравенства $x \in (1;2)$

$\displaystyle \left \{ {{-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}+2\pi n,n \in \mathbb{Z}} \atop {x\in (1;2)}} \right. ~\Rightarrow~ at~~n=0:~~\left \{ {{-\dfrac{\pi}{2}\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}} \atop {x\in (1;2)}} \right. \\ \\ \\ x\in \left(1;\dfrac{\pi}{2}\right]$

Ответ: $D(f)=\left(1;\dfrac{\pi}{2}\right]$

Answer 2

Для нахождения области определения данной функции необходимо рассмотреть два ее компонента: корень и логарифм.

1. Корень: функция sqrt(x) определена только для неотрицательных значений x. В данном случае, внутри корня у нас стоит cos(x), которое ограничено значениями от -1 до 1. Чтобы выражение под корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы cos(x) был больше или равен нулю. Это достигается при значениях x, лежащих в интервалах [0, pi/2] и [2pi, 5pi/2].

2. Логарифм: функция log(x) определена только для положительных значений x. В данном случае, внутри логарифма у нас стоит 47*(-x^2+3x-2). Чтобы это выражение было положительным, необходимо, чтобы его аргумент (-x^2+3x-2) был больше нуля. Чтобы решить это неравенство, можно использовать квадратное уравнение -x^2+3x-2 > 0.

Для нахождения корней этого квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В данном случае, a = -1, b = 3 и c = -2.

D = 3^2 - 4*(-1)*(-2) = 9 - 8 = 1.

Так как дискриминант D положителен, у нас есть два корня: x1 и x2.

x1 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-3 - 1) / (-2) = 2.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-3 + 1) / (-2) = 1.

Теперь мы можем составить интервалы, где (-x^2+3x-2) > 0:

1. (-∞, x1) - интервал, где (-x^2+3x-2) положительно;
2. (x2, +∞) - интервал, где (-x^2+3x-2) положительно.

Таким образом, область определения функции f(x) = sqrt(cosx) + log47(-x^2+3x-2) состоит из пересечения области определения корня (x принадлежит [0, pi/2] и [2pi, 5pi/2]) и области определения логарифма (x принадлежит (-∞, x1) и (x2, +∞)).