Question

В арифметической прогрессии 20 членов. Сумма членов, состоящих на четных местах, равна 250, а на нечетных 220. Найдите десятый член прогрессии.

Answer 1

На нечетных местах стоят следующие 10 членов:
$a_1; \ a_1+2d; \ a_1+4d; \ ...; \ a_1+18d$

Найдем сумму этих членов:
$S=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+ ...+ (a_1+18d)= \\\ =10a_1+(2+4+...+18)d=10a_1+90d$

По условию эта сумма равна 220:
$10a_1+90d=220$

Разделим обе части последнего равенства на 10:
$a_1+9d=22$

Заметим, что согласно общей формуле n-ого члена арифметической прогрессии $a_n=a_1+d(n-1)$ в левой части получившегося равенства стоит искомый десятый член:
$a_{10}=a_1+9d=22$

Ответ: 22

Answer 2

$a_2+a_4+...+a_{20}=250 \\ a_1+a_3+...+a_{19}=220 \\ a_{10}=? \\ S_{20}=a_1+a_2+a_3+...+a_{19}+a_{20}=250+220=470 \\ S_{20}= \frac{a_1+a_{20}}{2}*20= \frac{a_1+a_1+19d}{2}*20= \frac{2a_1+19d}{2}*20 \\ 10(2a_1+19d)=S_{20} \\ 10(2a_1+19d)=470 \iff 2a_1+19d=47 \\ a_1+a_3+...+a_{19}=a_1+(a_1+2d)+(a_1+4d)+...+(a_1+18d)=220 \\ 10a_1+(2+4+6+8+10+12+14+16+18)d=220 \\ 10a_1+90d=220 \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {10a_1+90d=220}} \right. \\ \\ \left \{ {{2a_1+19d=47} \atop {a_1+9d=22}} \right.$
$a_1=22-9d \\ 2(22-9d)+19d=47 \\ 44-18d+19d=47 \\ d=47-44 \\ d=3 \\ a_1=22-9*3=22-27 \\ a_1=-5 \\ a_{10}=a_1+9d=-5+9*3=27-5=22 \\ a_{10}=22$

Answer 3

Давайте обозначим первый член прогрессии как "a", а разность между членами прогрессии как "d". Таким образом, каждый член прогрессии будет выглядеть следующим образом:

1-й член: a 2-й член: a + d 3-й член: a + 2d 4-й член: a + 3d и так далее.

Мы знаем, что сумма членов, состоящих на четных местах, равна 250, поэтому:

a + (a + 2d) + (a + 4d) + ... + (a + 18d) = 250

Мы также знаем, что сумма членов, состоящих на нечетных местах, равна 220, поэтому:

(a + d) + (a + 3d) + (a + 5d) + ... + (a + 17d) = 220

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии:

Сумма = (количество членов / 2) * (первый член + последний член)

Для суммы членов, состоящих на четных местах: (10 / 2) * (a + (a + 18d)) = 250 5 * (2a + 18d) = 250 10a + 90d = 250 ...(1)

Для суммы членов, состоящих на нечетных местах: (10 / 2) * ((a + d) + (a + 17d)) = 220 5 * (2a + 18d) = 220 10a + 90d = 220 ...(2)

Из (1) и (2) мы получаем два уравнения: 10a + 90d = 250 10a + 90d = 220

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1), чтобы избавиться от "a": (10a + 90d) - (10a + 90d) = 250 - 220 0 = 30

Уравнение 0 = 30 невозможно. Это означает, что нет решений для "a" и "d" с данными условиями. Возможно, в условии задачи пропущена какая-то информация или допущена ошибка.