Question

Иссоелуйте на монотонность и найдите экстремумыу=х^3(2-х)

Answer 1

$f(x)=x^3(2-x)$

1) Найдем производную:

$f'(x)=(x^3(2-x))'=3x^2(2-x)-x^3=x^2(3(2-x)-x)=x^2(6-4x)=4x^2(1,5-x)$

2) Найдем нули производной:

$4x^2(1,5-x)=0,\\x^2(1,5-x)=0,\\\left[\begin{array}{ccc}x=0,\\x=1,5.\end]$

3) Нанесем нули на координатную прямую и расставим знаки производной; на основе знаков производной проанализируем монотонность функции.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty;1,5]$;

функция убывает на $[1,5;+\infty)$;

точки максимума: $x=1,5$;

точки минимума: отсутствуют.

Answer 2

Для исследования функции f(x) = x^3(2-x) на монотонность и поиск экстремумов, мы должны вычислить её производную и найти точки, где производная равна нулю.

Сначала найдём производную функции f(x) по переменной x:

f'(x) = 3x^2(2-x) + x^3(-1) = 6x^2 - 3x^3 - x^3 = 6x^2 - 4x^3.

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, решим уравнение:

6x^2 - 4x^3 = 0.

Выносим общий множитель x^2:

x^2(6 - 4x) = 0.

Теперь у нас есть два случая:

1. x^2 = 0: Это возможно только при x = 0.

2. 6 - 4x = 0: Решаем уравнение и находим x = 6/4 = 3/2.

Итак, у нас есть две точки, где производная равна нулю: x = 0 и x = 3/2.

Теперь проанализируем знак производной в интервалах между и за пределами этих точек, чтобы определить монотонность функции и наличие экстремумов.

1. При x < 0: Подставляем произвольное значение меньше нуля, например, x = -1, в производную: f'(-1) = 6(-1)^2 - 4(-1)^3 = 6 - 4 = 2 > 0. Производная положительна, значит, функция возрастает на этом интервале.

2. При 0 < x < 3/2: Подставляем произвольное значение между 0 и 3/2, например, x = 1: f'(1) = 6(1)^2 - 4(1)^3 = 6 - 4 = 2 > 0. Производная положительна, значит, функция возрастает на этом интервале.

3. При x = 3/2: На этой точке производная равна нулю, но это не является достаточным условием для экстремума. Мы должны провести дополнительный анализ.

4. При x > 3/2: Подставляем произвольное значение больше 3/2, например, x = 2: f'(2) = 6(2)^2 - 4(2)^3 = 24 - 32 = -8 < 0. Производная отрицательна, значит, функция убывает на этом интервале.

Таким образом, на основе