Question

Найти все а, при которых уравнение √(2+x2)=a+x будет иметь решения. Помогите пожалуйста!

Answer 1

Решение задания приложено. Весь ход решения другой товарищ прекрасно расписал.

Answer 2

Возведем обе части в квадрат.

x^2+2=a^2+x^2+2ax

2=a^2+2ax

при а=0 решений нет.

x=(2-a^2)/2a

Однако решение имеет смысл только если 1) подкоренное выражение неотрицательно  2) правая часть неотрицательна.

Подкоренное выражение неотрицательно всегда.

Правая часть  а+(2-a^2)/2a>=0  - надо решить это неравенство.

Приведем к общему знаменателю :

(a^2+2)/(2a)>=0

Неравенство верно только если а больше 0.

Ответ: а >0

Answer 3

Для того чтобы уравнение √(2+x^2) = a+x имело решения, необходимо и достаточно, чтобы выражение под корнем (2+x^2) было неотрицательным числом или нулем. Это означает, что нужно рассмотреть два случая:

1. 2+x^2 ≥ 0: Рассмотрим это неравенство: x^2 ≥ -2 Так как квадрат любого числа неотрицателен, то это неравенство выполняется для всех действительных значений x.

2. 2+x^2 = 0: Решим это уравнение: x^2 = -2 Уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Таким образом, для уравнения √(2+x^2) = a+x существуют решения для любого действительного числа a.