Question

Cosa=1/7 :cos(a+b)=-11/14найти cosb=?

Answer 1

$\cos( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

Так как  $\cos \alpha= \dfrac{1}{7}$ - положительное число, значит косинус расположен либо в 1 четверти либо в 4 четверти, то есть, будем рассматривать 2 случая:

Случай 1. Если  $\cos \alpha$ в первой четверти, тогда
$\sin \alpha =\bigg{ \sqrt{1-\cos^2 \alpha }} = \sqrt{1-( \frac{1}{7} )^2 } = \dfrac{4 \sqrt{3} }{7}$

Подставим в начальную формулу, имеем:
$\dfrac{1}{7} \cos \beta -\dfrac{4 \sqrt{3} }{7} \sin \beta =- \dfrac{11}{14} \,\,\,\,\,\,\, \bigg|\cdot 7\\ \\ \cos \beta -4 \sqrt{3} \sin \beta =- \dfrac{11}{2} \\ \\ 4 \sqrt{3} \sin \beta -\cos \beta = \dfrac{11}{2}$

$4 \sqrt{3} \cdot | \sqrt{1-\cos^2 \beta }| -\cos \beta = \dfrac{11}{2}$
Пусть  $\cos \beta =t$
$4 \sqrt{3} \cdot | \sqrt{1-t^2} |-t= \dfrac{11}{2}$

С учетом  $|t| \leq 1$ мы можем убрать модуль:
$4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{1-t^2} -t= \dfrac{11}{2}$

$4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{1-t^2} =5.5+t$
Возведем обе части уравнения в квадрат, получаем:
$48(1-t^2)=(5.5+t)^2$
После раскрытии скобки и приведения подобных, имеем квадратное уравнение

$196t^2+44t-71=0\\ D=b^2-4ac=44^2-4\cdot 196\cdot(-71)=57600$
$D\ \textgreater \ 0$ , значит квадратное уравнение имеет 2 корня

$t_1= \dfrac{-b+ \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-44+240}{2\cdot196} = \dfrac{1}{2} \\ \\ t_2= \dfrac{-b- \sqrt{D} }{2a} = \dfrac{-44-240}{2\cdot196} = -\dfrac{71}{98}$

Обратная замена:

$\cos \beta = \dfrac{1}{2}$ - подходит

$\cos \beta =- \dfrac{71}{98}$ - подходит.

Случай 2. Если косинус будет расположен в 4 четверти, то имеем:
$\sin \alpha =- \dfrac{4 \sqrt{3} }{7}$

$\dfrac{1}{7} \cdot \cos \beta + \dfrac{4 \sqrt{3} }{7} \sin \beta =- \dfrac{11}{14} \,\,\,\,\, |\cdot 7\\ \\ \cos \beta +4 \sqrt{3} \cdot | \sqrt{1-\cos ^2 \beta } |=-5.5$
Пусть  $\cos \beta =t$
При  $|t| \leq 1$ уравнение имеет вид:  $t+4 \sqrt{3} \cdot \sqrt{1-t^2} =-5.5$
$4 \sqrt{3} \sqrt{1-t^2} =-5.5-t$
ОДЗ:  $-5.5-t \geq 0$    отсюда     $t \leq -5.5$

Так как  $t \leq -5.5$ ,то в левой части уравнения подкоренное выражение будет иметь всегда отрицательное значение. Значит, уравнение решений не имеет.



Ответ:  $- \dfrac{71}{98} ;\,\, \dfrac{1}{2} .$

Answer 2

Немного короче, чем в другом решении.

Answer 3

Per risolvere l'equazione, dobbiamo usare le identità trigonometriche e l'informazione fornita. Possiamo iniziare determinando il valore di "a + b".

Dato che cos(a + b) = -11/14, possiamo scrivere l'equazione come segue:

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Ponendo che cos(a + b) = -11/14, abbiamo:

-11/14 = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)

Poiché non conosciamo i valori di "a" e "b", dobbiamo cercare una relazione che coinvolga solo "b". Possiamo utilizzare un'altra identità trigonometrica:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Poiché cos^2(x) = 1 - sin^2(x), possiamo sostituire questa espressione nell'equazione precedente:

-11/14 = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sqrt(1 - cos^2(b))

Poiché ci viene fornito che Cosa = 1/7, possiamo dire che:

cos(a) = 1/7

Possiamo quindi sostituire questo valore nell'equazione:

-11/14 = (1/7) * cos(b) - sin(a) * sqrt(1 - cos^2(b))

Risolvendo l'equazione rispetto a cos(b), otteniamo:

cos(b) = (14 * (-11/14) + sin(a) * sqrt(1 - (1/7)^2)) / (1/7)

Semplificando l'espressione, otteniamo:

cos(b) = -11 + 7 * sin(a) * sqrt(1 - (1/49))

Tuttavia, senza il valore di "a" specificato, non possiamo calcolare direttamente il valore di cos(b). Avremmo bisogno di ulteriori informazioni per determinare con precisione il valore di cos(b).