Question

Помогите , очееень срочно нужно!!

Answer 1

Преобразуем интегрируемое выражение:
$\displaystyle \frac{9x^2-1-\sqrt{3x+1}}{3x+1}=\frac{(3x-1)(3x+1)}{3x+1}-\frac{\sqrt{3x+1}}{3x+1}=3x-1-\sqrt{3x+1}$

Ищем какую-нибудь первообразную, сначала вспомнив, что первообразная суммы - сумма первообразных
$\displaystyle \int(3x-1-\sqrt{3x+1})\,dx=\int(3x-1)\,dx-\int\sqrt{3x+1}\,dx$

а затем, что первообразная от f(ax + b) равна 1/a * F(ax + b), где F(x) - первообразная для f(x), и что при n, не равном -1, ∫ x^n dx = x^(n + 1)/(n + 1):
 $\displaystyle\int(3x-1)\,dx-\int\sqrt{3x+1}\,dx=\frac13\frac{(3x-1)^2}2-\frac13\frac{(3x+1)^{3/2}}{3/2}$

Осталось вспомнить формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)$:

$\displaystyle \int_0^1(3x-1-\sqrt{3x+1})\,dx= \frac13\frac{(3-1)^2}2-\frac13\frac{(3+1)^{3/2}}{3/2}-\\-\frac13\frac{(0-1)^2}2+\frac13\frac{(0+1)^{3/2}}{3/2}=-\frac{19}{18}$