Question

Давление воздуха в Магдебургских полушариях 10 мм.рт.ст., радиус полушария 25 см., какую силу нужно приложить, чтобы оторвать полушария друг от друга при нормальном атмосферном давлении?

Answer 1

Итак, пусть давление внутри полушарий p, снаружи p0. Надо найти силу, действующую на полушария. Рассмотрим одно из них

На каждый маленький элемент площади полушария dS действуют две нормальные силы со стороны внешнего и внутреннего воздуха. Так как внутри давление меньше, можно сказать, что маленькая равнодействующая сила по модулю равна

$dF = (p_0-p)dS$

Направлена она в центр полусферы. Вверем сферическую систему координат для полушария (ось z направим из центра полушария в его полюс). В силу симметрии, угловые проекции сил dF друг друга скомпенсируют, так что надо будет посчитать только сумму проекций dF на ось Z (это будет dF*cosθ). Интегрируем по полусфере

$\displaystyle dS = R^2\sin\theta d\theta d\varphi\\\\ F = \int\limits_\Sigma(p_0-p)dS = 2\pi R^2(p_0-p)\int\limits_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta d\theta = \\\\ \pi R^2(p_0-p)\int\limits_0^{\pi/2}\sin(2\theta)d\theta = \pi R^2(p_0-p)$

Так как давление дано в мм. рт. ст., преобразуем окончательную формулу

$F = \rho g\pi R^2(h_0-h) \approx 20\cdot 10^3\text{ H}$

------

Многие могут заметить, что приведенное выше решение выходит за рамки школьной программы. Приведем ниже чуть менее строгие рассуждения, позволяющие получить тот же самый ответ без интегрирования по полусфере.

Опять же, разбивая полусферу на маленькие элементики, мы можем заметить, что сила, действующая на каждый элементик, направлена к центру полусферы. Поэтому надо просуммировать только те проекции силы, которые перпендикулярны плоскости экватора полусферы, а проекции, ей параллельные, друг друга уравновесят. Значит, для каждой площадочки ΔS маленькая проекция силы составит

ΔF = (p₀ - p)ΔS*cosθ

Заметим, что ΔS*cosθ - это площадь проекции элементика площади на плоскость экватора полусферы. Таким образом, просуммировав все дельты, можно утверждать, что

F = (p₀ - p)S = (p₀ - p)πR²

где S - площадь экваториального сечения полусферы. Полученный ответ совпадает с ранее полученным в ходе интегрирования по поверхности полусферы