Question

Интеграл от cosx^2dx. 83 балла

Answer 1

Конечно, давайте решим интеграл \(\int \cos^2(x) \,dx\).

Используем тригонометрическую идентичность \(\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}\):

\[ \int \cos^2(x) \,dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2} \,dx \]

Теперь разбиваем интеграл на два:

\[ \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \,dx \]

Решим каждый из них по отдельности:

1. \(\frac{1}{2} \int 1 \,dx\) - это просто \(\frac{1}{2}x\).

2. \(\frac{1}{2} \int \cos(2x) \,dx\) - для этого интеграла мы можем использовать замену переменной \(u = 2x\), тогда \(du = 2 \,dx\), и получаем:

\[ \frac{1}{4} \int \cos(u) \,du = \frac{1}{4} \sin(u) = \frac{1}{4} \sin(2x) \]

Теперь объединим оба интеграла:

\[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]

где \(C\) - постоянная интеграции.

Таким образом, интеграл \(\int \cos^2(x) \,dx\) равен:

\[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin(2x) + C \]

где \(C\) - произвольная постоянная.