Question

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найти меньший катет

Answer 1

Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанной окружности в прямоугольном треугольнике.

Согласно данному свойству, расстояние от точки касания вписанной окружности до вершины прямого угла равно половине гипотенузы.

Таким образом, расстояние от точки касания до одного из отрезков, на которые делится гипотенуза, равно 6 см, а до другого отрезка равно 12 см.

Обозначим меньший катет как "a". Тогда первый отрезок гипотенузы равен "a + 6", а второй отрезок равен "a + 12".

Учитывая свойство треугольника, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Таким образом, у нас есть уравнение:

a^2 + (a + 6)^2 = (a + 12)^2

Раскрывая скобки и сокращая подобные слагаемые, получаем:

a^2 + a^2 + 12a + 36 = a^2 + 24a + 144

Далее, вычитаем из обеих частей уравнения a^2, a^2 + 24a и 144, и переносим все слагаемые влево:

12a + 36 = 120

Вычитаем 36 из обеих частей уравнения:

12a = 84

И, наконец, делим обе части уравнения на 12:

a = 7

Таким образом, меньший катет равен 7 см.