Question

решить дифференциальное уравнение dy/x=dx/y^2 при y=0 x=1 прошу ответить очень срочно, подробно. заранее большое спасибо

Answer 1

Давайте решим данное дифференциальное уравнение:

\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dx}{y^2} \]

Для начала выразим уравнение в виде дифференциалов и проинтегрируем обе стороны:

\[ y^2 \, dy = x \, dx \]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения:

\[ \int y^2 \, dy = \int x \, dx \]

\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь у нас есть общее решение дифференциального уравнения:

\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} + C \]

Теперь, чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями \( y = 0 \) при \( x = 1 \). Подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{0^3}{3} = \frac{1^2}{2} + C \]

\[ C = -\frac{1}{2} \]

Таким образом, частное решение с учетом начальных условий:

\[ \frac{y^3}{3} = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \]

Если нужно, можно выразить это уравнение относительно \( y \):

\[ y = \sqrt[3]{\frac{3x^2 - 3}{2}} \]