Question

[98 баллов] Помогите, пожалуйста с задачей: Идет посадка в 100-местный самолет. В очеpедь выстpоились 100 пассажиpов. Пеpвой стоит сyмасшедшая стаpyшка. Зайдя в салон, она садится на любое слyчайно выбpанное место. Остальные пассажиpы - ноpмальные люди: каждый из них, зайдя в салон, садится на свое (обозначенное в билете) место, если оно свободно, и на любое из свободных - в пpотивном слyчае. Какова веpоятность, что последний в очеpеди пассажиp сядет на свое место? Прошу, дайте развернутый ответ с объяснением. Заранее спасибо.

Answer 1

Для решения данной задачи можно использовать принципы комбинаторики. Для начала рассмотрим случай, когда сумасшедшая старушка занимает свое выделенное место (1-й вариант). Тогда остается 99 мест и 99 пассажиров, которые могут занять свои места без проблем. Теперь рассмотрим второй вариант: сумасшедшая старушка занимает место последнего пассажира. В этом случае все пассажиры от 2-го до 100-го места садятся на свои места без проблем, а пассажир с 1-ым местом оказывается вынужденным сесть на место сумасшедшей старушки.

Исходя из этих двух вариантов, вероятность того, что последний пассажир сядет на свое место, можно определить следующим образом:

P(пассажир сядет на свое место) = P(сумасшедшая старушка сядет на свое место) + P(сумасшедшая старушка займет место последнего пассажира)

P(пассажир сядет на свое место) = 1/2 + 1/2 * P(пассажир сядет на свое место на следующем шаге)

Теперь рассмотрим P(пассажир сядет на свое место на следующем шаге). В этом случае уже есть два возможных варианта: сумасшедшая старушка может занять место 2-го пассажира или последнего. С учетом этих двух вариантов, вероятность можно выразить следующим образом:

P(пассажир сядет на свое место на следующем шаге) = 1/2 * 1/2 + 1/2 * 1/2 * P(пассажир сядет на свое место на следующем шаге)

Теперь можно продолжить рекурсивно рассчитывать вероятность для шагов 2, 3, 4 и так далее, ведь каждый следующий пассажир, пропустивший возможность занять свое место, будет подчиняться тем же принципам и возможным вариантам.

После всех вычислений и упрощений получим:

P(пассажир сядет на свое место) = 1/2 + 1/2 * (1/2 + 1/2 * (1/2 + ... ))

Такое выражение представляет бесконечную сумму, которую можно записать в более компактной форме:

P(пассажир сядет на свое место) = 1/2 + 1/2 * P(пассажир сядет на свое место)

Разрешим это уравнение и найдем значение вероятности:

P(пассажир сядет на свое место) = 1/2 + 1/2 * P(пассажир сядет на свое место) - 1/2 * P(пассажир сядет на свое место)

P(пассажир сядет на свое место) = 1/2

Таким образом, вероятность того, что последний пассажир сядет на свое место, равна 1/2 или 0.5.