Question

Помогите, пожалуйста,решить интеграл int от 1 до 0 √x/1+x dx

Answer 1

Чтобы решить этот интеграл, мы будем использовать метод подстановки.

Пусть u = √x, тогда du/dx = 1/(2√x) или dx = 2√x * du. Подставим это в исходный интеграл:

∫(от 1 до 0) (√x / (1 + x)) dx.

Заменим dx на 2√x * du:

∫(от 1 до 0) (√x / (1 + x)) * 2√x * du.

Упростим эту формулу:

∫(от 1 до 0) (2x / (1 + x)) du.

Мы можем взять константу 2 за знак интеграла, так как она является постоянным множителем:

2 * ∫(от 1 до 0) (x / (1 + x)) du.

Теперь, проведем подстановку u = 1 + x. Тогда du/dx = 1 или du = dx. Изменим пределы интегрирования: когда x = 1, u = 1 + 1 = 2, а когда x = 0, u = 1 + 0 = 1.

Получим следующий интеграл:

2 * ∫(от 2 до 1) (u - 1) du.

Раскроем скобки:

2 * ∫(от 2 до 1) u du - 2 * ∫(от 2 до 1) du.

Интегрируем каждую часть отдельно:

= 2 * (u^2 / 2 - u) |(от 2 до 1) - 2 * (u |(от 2 до 1) = 2 * [(1^2 / 2 - 1) - (2^2 / 2 - 2)] - 2 * (1 - 2) = 2 * (1/2 - 1) - 2 * (-1) = 2 * (-1/2) + 4 = -1 + 4 = 3.

Итак, значение данного интеграла равно 3.