Question

Решить неравенство сtg x≥√3

Answer 1

Чтобы решить неравенство ctg(x) ≥ √3, нужно учесть, что ctg(x) - это котангенс угла x, который определяется как 1/tg(x).

1. Начнем с неравенства ctg(x) ≥ √3. 2. Перепишем неравенство в виде 1/tg(x) ≥ √3. 3. Умножим обе части неравенства на tg(x), чтобы избавиться от знаменателя: 1 ≥ √3 * tg(x). 4. Разделим обе части неравенства на √3, чтобы избавиться от множителя: 1/√3 ≥ tg(x). 5. Упростим левую часть неравенства, приведя √3 к общему знаменателю: (√3)/3 ≥ tg(x). 6. Заметим, что tg(x) - это функция, определенная на интервалах (-π/2 + kπ, π/2 + kπ), где k - любое целое число. Также заметим, что ctg(x) - это функция, определенная на интервалах (kπ, (k+1)π), где k - любое целое число. 7. Учитывая эти ограничения на значения x, можем решить неравенство на каждом из этих интервалов. - На интервале (-π/2 + kπ, π/2 + kπ): На этом интервале функция tg(x) является положительной. Поэтому мы можем применить тангенс к обеим частям неравенства без изменения знака. Таким образом, неравенство примет вид: (√3)/3 ≥ tg(x). Далее, найдем значения x, удовлетворяющие этому неравенству на данном интервале. Для этого возьмем арктангенс от обеих частей неравенства и рассмотрим соответствующие ограничения. При этом будем помнить, что обратная функция тангенса имеет период π. Таким образом, решение будет иметь вид: x ≤ arctg((√3)/3) + kπ, где k - любое целое число.

- На интервалах (kπ, (k+1)π): На данном интервале функция tg(x) отрицательна, поэтому при применении тангенса к обеим частям неравенства возникнет изменение знака. Таким образом, неравенство примет вид: (√3)/3 ≤ -tg(x). Решая данное неравенство аналогичным образом (применяя арктангенс и учитывая периодичность функции), получим: x ≥ arctg(-(√3)/3) + kπ, где k - любое целое число.

Таким образом, решение неравенства ctg(x) ≥ √3 будет состоять из объединения двух интервалов: 1) x ≤ arctg((√3)/3) + kπ, где k - любое целое число. 2) x ≥ arctg(-(√3)/3) + kπ, где k - любое целое число.