Question

Найдите катет ВС прямоугольного треугольника АВС, где С=90 градусов. Известно, что точки К и Р-середины соответственно сторон ВС и АВ, АВ=15 см, КР=6 см.

Answer 1

Давайте обозначим катеты прямоугольного треугольника \(ABC\) как \(AB\) и \(BC\), где \(BC\) - гипотенуза, \(AC\) - второй катет. Также, пусть \(K\) и \(P\) будут серединами сторон \(BC\) и \(AB\) соответственно.

Из условия задачи известно, что \(AB = 15\) см и \(KP = 6\) см.

Так как \(K\) и \(P\) - середины сторон \(BC\) и \(AB\) соответственно, то \(KP\) является половиной \(AB\), то есть \(KP = \frac{1}{2} AB\).

Теперь, чтобы найти катет \(AC\), можно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника \(ABC\):

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\]

Но перед этим найдем значение гипотенузы \(BC\):

Так как \(KP = \frac{1}{2} AB\) и \(KP = 6\) см, то:

\(\frac{1}{2} AB = 6\) см

\(AB = 2 \times 6\) см

\(AB = 12\) см

Теперь используем теорему Пифагора:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 + BC^2 = 15^2\] \[AC^2 + BC^2 = 225\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[AC^2 + BC^2 = 225\] \[AC^2 + \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 225\]

Мы знаем, что \(KP = 6\) см, и \(KP\) является половиной \(BC\), следовательно, \(BC = 2 \times KP = 2 \times 6 = 12\) см.

Теперь подставим \(BC = 12\) см в уравнение:

\[AC^2 + 12^2 = 225\] \[AC^2 + 144 = 225\] \[AC^2 = 225 - 144\] \[AC^2 = 81\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[AC = \sqrt{81}\] \[AC = 9\]

Таким образом, длина катета \(AC\) равна \(9\) см.