Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения (x^2+1)*dy=2xydx

Answer 1

Дано дифференциальное уравнение: (x^2+1)*dy = 2xydx.

Мы можем решить это уравнение, разделив обе части на (x^2+1): dy/dx = (2xy)/(x^2+1).

Далее можно применить метод разделения переменных, разделив обе части уравнения и перемещая dy на одну сторону и dx на другую: dy/(x^2+1) = (2xy)dx.

Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения: ∫(1/(x^2+1))dy = ∫(2xy)dx.

Интеграл ∫(1/(x^2+1))dy можно вычислить, заменяя x^2 на тангенс синуса и применяя замену t = x^2+1: ∫(1/(x^2+1))dy = ∫((1/(1+tan^2(θ)))dθ = ∫(cos^2(θ))dθ = ∫(1/2)(1+cos(2θ))dθ = (1/2)(θ + (1/2)sin(2θ)) + C1 = (1/2)(θ + sin(θ)cos(θ)) + C1,

где C1 - постоянная интегрирования.

Интеграл ∫(2xy)dx можно также вычислить, заменив y на t и проинтегрировав по x: ∫(2xy)dx = ∫(2xt)dx = x^2t + C2,

где C2 - постоянная интегрирования.

Теперь давайте заменим значение θ обратно на x, используя теорему о подобных треугольниках: θ = arctan(x),

тогда решение примет вид: (1/2)(arctan(x) + sin(arctan(x))cos(arctan(x))) + C1 = (1/2)(arctan(x) + sin(arctan(x))/(1+x^2)) + C1 = θ/2 + (1/2)(sin(θ)/(1+x^2)) + C1 = arctan(x)/2 + (1/2)(sin(arctan(x))/(1+x^2)) + C1 = arctan(x)/2 + (1/2)(x/(1+x^2)) + C1,

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Таким образом, общим решением дифференциального уравнения (x^2+1)*dy = 2xydx является функция: y = arctan(x)/2 + (1/2)(x/(1+x^2)) + C,

где C - произвольная постоянная.