Question

Sin(п+x)-cos(п/2-x)=корень из 3

Answer 1

Для начала решим данное уравнение:

sin(π + x) - cos(π/2 - x) = √3

Для удобства, заменим π на π/2:

sin(π/2 + 2x) - cos(π/2 - x) = √3

Теперь воспользуемся формулами суммы и разности для синуса и косинуса:

sin(π/2)cos(2x) + cos(π/2)sin(2x) - cos(π/2)cos(x) + sin(π/2)sin(x) = √3

Учитывая, что sin(π/2) = 1 и cos(π/2) = 0, упростим выражение:

cos(2x) + sin(2x) - cos(x) + sin(x) = √3

Преобразуем выражение, заменяя sin и cos через соответствующие тригонометрические формулы:

(1 - 2sin^2(x)) + 2sin(x)cos(x) - cos(x) + sin(x) = √3

Раскроем скобки и упростим:

-2sin^2(x) + 3sin(x)cos(x) - cos(x) + sin(x) = √3

Теперь приведем подобные слагаемые:

-2sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) - cos(x) = √3

Перенесем √3 на левую сторону:

-2sin^2(x) + 4sin(x)cos(x) - cos(x) - √3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его с помощью квадратного трехчлена:

2sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + cos(x) + √3 = 0

Сделаем замену sin(x) = t:

2t^2 - 4tcos(x) + cos(x) + √3 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно t. Воспользуемся квадратным трехчленом:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

a = 2, b = -4cos(x), c = cos(x) + √3

Подставим значения:

t = (-(-4cos(x)) ± √((-4cos(x))^2 - 4 * 2 * (cos(x) + √3))) / (2 * 2)

t = (4cos(x) ± √(16cos^2(x) - 8(cos(x) + √3))) / 4

Теперь разделим числитель и знаменатель на 4:

t = cos(x) ± √(4cos^2(x) - 2(cos(x) + √3))

Заменим t обратно на sin(x):

sin(x) = cos(x) ± √(4cos^2(x) - 2(cos(x) + √3))

Теперь, чтобы решить это уравнение, нужно исследовать значения cos(x) и использовать тригонометрические свойства для нахождения возможных решений.