Question

Задача по комбинаторике 1,2,...n a(1),a(2),...a(n). Где (1),(2) - индексы Сколько существует перестановок из n чисел, таких, что каждое число не занимает свое место? Например (1,2,3)(3,2,1)

Answer 1

Задача по комбинаторике: перестановки без фиксированных мест

Дана последовательность чисел от 1 до n, а также последовательность индексов a(1), a(2), ..., a(n), где (1), (2) - индексы. Вам нужно определить, сколько существует перестановок из n чисел, в которых каждое число не занимает свое место.

Например, для n = 3 и a(1) = 3, a(2) = 2, a(3) = 1, существуют две перестановки, удовлетворяющие условию: (1, 2, 3) и (3, 2, 1).

Решение

Для решения этой задачи можно использовать принцип включения-исключения. Давайте рассмотрим каждое число от 1 до n и посчитаем количество перестановок, в которых это число занимает свое место. Затем мы вычтем это количество из общего числа перестановок и получим количество перестановок, в которых каждое число не занимает свое место.

Пусть P(n) - общее количество перестановок из n чисел, а P(i) - количество перестановок, в которых i-е число занимает свое место.

Тогда количество перестановок, в которых каждое число не занимает свое место, можно вычислить следующим образом:

P(n) - P(1) + P(2) - P(3) + ... + (-1)^(n-1) * P(n-1) + (-1)^n * P(n)

Пример

Давайте рассмотрим пример с n = 3 и a(1) = 3, a(2) = 2, a(3) = 1.

Общее количество перестановок из 3 чисел равно 3! = 6.

Теперь посчитаем количество перестановок, в которых каждое число занимает свое место:

- P(1) - количество перестановок, в которых 1-е число занимает свое место. В данном случае, это 0, так как a(1) = 3. - P(2) - количество перестановок, в которых 2-е число занимает свое место. В данном случае, это 0, так как a(2) = 2. - P(3) - количество перестановок, в которых 3-е число занимает свое место. В данном случае, это 0, так как a(3) = 1.

Теперь мы можем вычислить количество перестановок, в которых каждое число не занимает свое место:

P(3) - P(1) + P(2) - P(3) = 6 - 0 + 0 - 0 = 6

Таким образом, для данного примера существует 6 перестановок, в которых каждое число не занимает свое место.

Ответ

Для заданной последовательности чисел от 1 до n и последовательности индексов a(1), a(2), ..., a(n), количество перестановок из n чисел, в которых каждое число не занимает свое место, можно вычислить с использованием принципа включения-исключения:

P(n) - P(1) + P(2) - P(3) + ... + (-1)^(n-1) * P(n-1) + (-1)^n * P(n)

где P(n) - общее количество перестановок из n чисел, а P(i) - количество перестановок, в которых i-е число занимает свое место.

Пожалуйста, обратите внимание, что данное решение основано на предоставленных данных и может быть проверено с использованием других источников информации.