Question

Найдите производную 1/(x^2+x+1)^2

Answer 1

Для нахождения производной функции 1/(x^2+x+1)^2, мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования частного. Давайте выполним этот расчет.

Применение правила дифференцирования сложной функции

Сначала мы рассмотрим функцию g(x) = (x^2+x+1)^2. Для простоты обозначений, давайте заменим g(x) на u. Тогда u = (x^2+x+1)^2.

Для нахождения производной функции u, мы будем использовать цепное правило, которое гласит:

d(u^n)/dx = n * u^(n-1) * du/dx,

где n - степень функции u(x), а du/dx - производная функции u(x) по переменной x.

Применим это правило к функции u = (x^2+x+1)^2:

u' = 2 * (x^2+x+1) * (2x+1).

Применение правила дифференцирования частного

Теперь, когда у нас есть производная функции u = (x^2+x+1)^2, мы можем применить правило дифференцирования частного.

Правило дифференцирования частного гласит:

(d/dx)(f(x)/g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / [g(x)]^2,

где f(x) и g(x) - две функции, а f'(x) и g'(x) - их производные.

В нашем случае, f(x) = 1 и g(x) = u = (x^2+x+1)^2.

Производная f(x) равна нулю, так как это константа.

Теперь давайте найдем производную функции g(x) и подставим значения f'(x), g(x) и g'(x) в формулу для правила дифференцирования частного.

g'(x) = 2 * (x^2+x+1) * (2x+1).

Теперь мы можем вычислить производную функции f(x)/g(x):

(d/dx)(1/u) = (0 * (x^2+x+1)^2 - 1 * 2 * (x^2+x+1) * (2x+1)) / [(x^2+x+1)^2]^2.

Упрощая это выражение, мы получаем:

(d/dx)(1/(x^2+x+1)^2) = - 2 * (2x+1) / (x^2+x+1)^3.

Таким образом, производная функции 1/(x^2+x+1)^2 равна - 2 * (2x+1) / (x^2+x+1)^3.